[论文解读] Existence and concentration of positive solutions for a logarithmic Schrödinger equation via penalization method

Claudianor O. Alves, Chao Ji|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用 4

一句话总结

该论文通过惩罚法，在势函数 $ V(x) $ 满足局部条件的假设下，建立了对数薛定谔方程正解的存在性与集中性。通过借鉴 del Pino 和 Felmer 的技巧，作者证明了当 $ \epsilon \to 0 $ 时，解在 $ V $ 的极小点处集中，克服了能量泛函非光滑性和缺乏紧致性的技术难题。

ABSTRACT

In this article we are concerned with the following logarithmic Schrödinger equation $$ \left\{ \begin{array}{lc} -ε^2Δu+ V(x)u=u \log u^2, & \mbox{in} \,\, \mathbb{R}^{N}, \\ %u(x)>0, & \mbox{in} \quad \mathbb{R}^{N} \\ u \in H^1(\mathbb{R}^{N}), & \; \\ \end{array} ight. $$ where $ε>0, N \geq 1$ and $V:\mathbb{R}^{N} ightarrow \mathbb{R}$ is a continuous potential. Under a local assumption on the potential $V$, we use the variational methods to prove the existence and concentration of positive solutions for the above problem.

研究动机与目标

• 在势函数 $ V(x) $ 满足局部条件的假设下，建立对数薛定谔方程正解的存在性。
• 证明当参数 $ \epsilon \to 0 $ 时，解在 $ V $ 的极小点处集中，将结果从全局假设推广至局部假设。
• 克服在 $ H^1(\mathbb{R}^N) $ 中对数能量泛函非光滑且定义不良所带来的技术挑战。

提出的方法

• 将 del Pino 和 Felmer 的惩罚法适配至具有非线性项 $ u \log u^2 $ 的对数薛定谔方程。
• 通过变量替换将原问题转化为适合变分分析的形式。
• 对惩罚问题应用变分方法，证明在 $ H^1(\mathbb{R}^N) $ 中存在一个临界点。
• 利用 Moser 迭代和覆盖论证，建立解序列的统一 $ L^\infty $ 有界性。
• 通过证明缩放解的最大点收敛至 $ V $ 的极小点，证明集中性。
• 利用子列论证和 $ V $ 的连续性，得出集中点满足 $ V(y_0) = V_0 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种势函数 $ V(x) $ 条件下，对数薛定谔方程的正解可以存在？
• RQ2 惩罚法能否被适配以处理导致能量泛函非光滑且定义不良的对数非线性项？
• RQ3 当 $ \epsilon \to 0 $ 时，解是否会在 $ V $ 的局部极小点处集中，即使仅在局部假设下而非全局假设下？
• RQ4 在对数增长存在的情况下，如何为惩罚问题的解建立统一的 $ L^\infty $ 有界性？
• RQ5 当 $ \epsilon \to 0 $ 时，解的最大点的渐近行为如何？

主要发现

• 作者在局部假设 (V2) 和 $ V_0 > -1 $ 下，证明了对所有 $ \epsilon > 0 $，惩罚问题存在正解 $ u_\epsilon $。
• 当 $ \epsilon \to 0 $ 时，解在集合 $ \Lambda $ 中满足 $ V(y_0) = V_0 $ 的点 $ y_0 $ 处集中，其中 $ V_0 $ 是 $ V $ 的全局下确界。
• 缩放解 $ v_\epsilon(x) = u_\epsilon(x/\epsilon) $ 的最大点收敛至满足 $ V(y_0) = V_0 $ 的点，证实了解在 $ V $ 的极小点处集中。
• 通过 Moser 迭代和覆盖论证，建立了 $ u_\epsilon $ 序列的统一 $ L^\infty $ 有界性，确保解保持有界。
• 证明依赖于子列论证：$ u_\epsilon $ 的最大点位于以 $ y_n $ 为中心的固定球内，且满足 $ \epsilon y_n \to y_0 $，其中 $ V(y_0) = V_0 $。
• 该结果将先前基于全局假设（如 Rabinowitz）的存在性与集中性结果推广至局部假设，扩大了惩罚法在对数薛定谔方程中的适用范围。