[论文解读] Existence and multiplicity of solutions for a class of Choquard equations with Hardy-Littlewood-Sobolev critical exponent

Fashun Gao, Minbo Yang|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文通过变分法研究了有界区域中具有 Hardy-Littlewood-Sobolev 临界指数的非线性 Choquard 方程解的存在性与多重性。在非线性项 $ f(u) $ 满足适当条件时，证明了至少存在一个非平凡解；在额外假设下，通过临界点理论与集中紧致性方法，进一步证明了解的多重性。

ABSTRACT

We consider the following nonlinear Choquard equation with Dirichlet boundary condition $$-\Delta u =\left(\int_{\Omega}\frac{|u|^{2_{\mu}^{\ast}}}{|x-y|^{\mu}}dy ight)|u|^{2_{\mu}^{\ast}-2}u+\lambda f(u)\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \Omega, $$ where $\Omega$ is a smooth bounded domain of $\mathbb{R}^N$, $\lambda>0$, $N\geq3$, $0<\mu<N$ and $2_{\mu}^{\ast}$ is the critical exponent in the sense of the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality. Under suitable assumptions on different types of nonlinearities $f(u)$, we are able to prove some existence and multiplicity results for the equation by variational methods.

研究动机与目标

• 研究由 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式定义的临界增长下 Choquard 方程解的存在性与多重性。
• 分析不同类型非线性项 $ f(u) $ 对解结构的影响。
• 将变分法扩展至包含非局部相互作用与临界指数的有界区域中的方程。
• 建立多重非平凡解存在的充分条件。

提出的方法

• 采用变分法，特别是临界点理论，研究 Choquard 方程的弱解。
• 利用 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式定义临界指数 $ 2_{ u}^{ullet} = \frac{2N - \mu}{N - 2} $，该指数控制非局部项。
• 应用集中紧致性原理，以处理因临界指数和非局部积分项导致的紧致性缺失问题。
• 分析与方程相关的能量泛函，以识别对应于弱解的临界点。
• 对 $ f(u) $ 施加结构条件，如次临界或渐近行为，以确保 Palais-Smale 条件成立。
• 利用 Sobolev 空间中的比较与嵌入定理，控制非局部项并确保极小化序列的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $ f(u) $ 条件下，具有 Hardy-Littlewood-Sobolev 临界指数的 Choquard 方程 admits 至少一个非平凡弱解？
• RQ2 当 $ f(u) $ 满足特定对称性或增长条件时，能否证明存在多个弱解？
• RQ3 非局部相互作用项 $ \int_{\Omega} \frac{|u|^{2_{\mu}^{\ast}}}{|x-y|^\mu} dy $ 如何影响有界区域中解的多重性？
• RQ4 参数 $ \lambda > 0 $ 在解的存在性与数量中起什么作用？
• RQ5 变分结构与临界指数如何相互作用，以影响紧致性与解的存在性？

主要发现

• 本文在对 $ f(u) $ 的一般假设下（包括次临界与渐近线性增长），证明了 Choquard 方程至少存在一个非平凡弱解。
• 当 $ f(u) $ 满足额外的对称性或振荡条件时，方程存在多个弱解，表明了解的多重性。
• 临界指数 $ 2_{\mu}^{\ast} = \frac{2N - \mu}{N - 2} $ 自然地由 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式导出，并控制非局部相互作用的强度。
• 变分框架通过仔细分析 Palais-Smale 条件，成功处理了因临界指数与非局部项导致的紧致性缺失问题。
• 参数 $ \lambda > 0 $ 影响解的数量与性质，较大值在适当 $ f(u) $ 条件下可能促成多个解的出现。