[论文解读] Existence and qualitative analysis for nonlinear weighted Choquard equations

Lele Du, Fashun Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文在 $ℝ^N$ 上建立了带权非线性 Choquard 方程在临界与次临界非局部非线性情形下正解的存在性、正则性与对称性。通过使用 Schwarz 对称化、非局部的集中紧致性原理以及积分形式的移动平面法，证明了在由带权 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式导出的最优指数条件下，基态解的存在性以及正解的对称性。

ABSTRACT

The aim of this paper is to classify the solutions of the critical nonlocal equation with weighted nonlocal term $$-\Delta u =\frac{1}{|x|^{\alpha}}\left(\int_{\mathbb{R}^{N}}\frac{|u(y)|^{2_{\alpha,\mu}^{\ast}}} {|x-y|^{\mu}|y|^{\alpha}}dy ight)|u|^{2_{\alpha,\mu}^{\ast}-2}u\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \mathbb{R}^{N} $$ and the subcritical case of the form $$-\Delta u+u =\frac{1}{|x|^{\alpha}}\left(\int_{\mathbb{R}^{N}}\frac{|u(y)|^{p}} {|x-y|^{\mu}|y|^{\alpha}}dy ight)|u|^{p-2}u\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \mathbb{R}^{N}. $$ where $N\geq3$, $0<\mu<N$, $\alpha\geq0$, $2\alpha+\mu\leq N$ and $2-\frac{2\alpha+\mu}{N}< p<2_{\alpha,\mu}^{\ast}$ with $2_{\alpha,\mu}^{\ast}=(2N-2\alpha-\mu)/(N-2)$. The critical exponent $2_{\alpha,\mu}^{\ast}$ is due to the weighted Hardy-Littlewood-Sobolev inequality and Sobolev imbedding. We prove the existence of positive ground state solutions for the subcritical case by using Schwarz symmetrization and the critical case by a nonlocal version of concentration-compactness principle. We also establish the regularity of positive solutions for these two equations . Finally, we prove the symmetry of positive solutions by the moving plane method in integral forms.

研究动机与目标

• 对具有非局部相互作用的临界与次临界带权 Choquard 方程的解进行分类。
• 通过对称化技术，在次临界情形下建立正基态解的存在性。
• 将集中紧致性原理推广至非局部情形，以处理临界情形。
• 在一般参数约束下，证明正解的正则性。
• 通过积分形式的移动平面法，建立正解的对称性。

提出的方法

• 应用 Schwarz 对称化将非局部问题转化为径向对称问题，以辅助存在性证明。
• 使用非局部版本的集中紧致性原理以处理临界指数情形。
• 采用积分形式的移动平面法证明正解的对称性。
• 在约束 $2 - \frac{2\alpha + \mu}{N} < p < 2_{\alpha,\mu}^* $ 下分析方程，其中 $2_{\alpha,\mu}^* = \frac{2N - 2\alpha - \mu}{N-2}$，该约束由带权 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式导出。
• 依赖 Sobolev 嵌入定理与带权不等式以控制非局部项。
• 同时考虑临界情形 $-\Delta u = \frac{1}{|x|^\alpha} \left( \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u(y)|^{2_{\alpha,\mu}^*}}{|x-y|^\mu |y|^\alpha} dy \right) |u|^{2_{\alpha,\mu}^*-2} u$ 与含低阶项的次临界情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带有临界非局部项的带权 Choquard 方程允许存在正基态解？
• RQ2 如何将集中紧致性原理适配于处理临界情形下的非局部、带权方程？
• RQ3 这些带权 Choquard 方程的正解具有何种正则性特征？
• RQ4 带权 Choquard 方程的正解是否具有对称性？若具有，其条件为何？
• RQ5 参数 $\alpha$、$\mu$ 与 $p$ 如何影响解的存在性与对称性？

主要发现

• 本文通过 Schwarz 对称化与变分方法，证明了次临界带权 Choquard 方程正基态解的存在性。
• 发展并应用了一种非局部集中紧致性原理，以在临界情形下建立解的存在性。
• 证明了所有正解均为光滑函数，且属于 $L^\infty(\mathbb{R}^N)$，从而确认其正则性。
• 通过积分形式的移动平面法，确立了正解的对称性，证明其为径向对称且在 $|x|$ 上严格递减。
• 临界指数 $2_{\alpha,\mu}^* = \frac{2N - 2\alpha - \mu}{N-2}$ 被确定为解存在性的精确阈值。
• 在最优条件 $2 - \frac{2\alpha + \mu}{N} < p < 2_{\alpha,\mu}^*$ 下，结果成立，其中 $N \geq 3$，$0 < \mu < N$，$\alpha \geq 0$，且 $2\alpha + \mu \leq N$。