[论文解读] Existence and regularity of Faber Krahn minimizers in a Riemannian manifold

Jimmy Lamboley, Pieralberto Sicbaldi|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 59被引用 8

一句话总结

该论文建立了黎曼流形上Faber-Krahn极小化器的存在性与正则性——即在固定体积下使拉普拉斯-贝尔特拉米算子第一Dirichlet特征值最小化的区域。论文证明了在紧致流形上存在极小化器，给出了非紧致情形下的反例，并利用自由边界正则性理论与爆破分析方法，证明极小化器的边界在Hausdorff余维数至少为5的奇异集之外是光滑的。

ABSTRACT

In this paper, we study the minimization of $\\lambda_{1}(\\Omega)$, the first Dirichlet eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator, within the class of open sets $\\Omega$ of fixed volume in a Riemmanian manifold $(M,g)$. In the Euclidian setting (when $(M,g)=(\\mathbb{R}^n,e)$), the well-known Faber-Krahn inequality asserts that the solution of such problem is any ball of suitable volume. Even if similar results are known or may be expected for Riemannian manifolds with symmetries, we cannot expect to find explicit solutions for general manifolds $(M,g)$. In this paper we study existence and regularity properties for this spectral shape optimization problem in a Riemannian setting, in a similar fashion as for the isoperimetric problem. We first give an existence result in the context of compact Riemannian manifolds, and we discuss the case of non-compact manifolds by giving a counter-example to existence. We then focus on the regularity theory for this problem, and using the tools coming from the theory of free boundary problems, we show that solutions are smooth up to a possible residual set of co-dimension 5 or higher.

研究动机与目标

• 在紧致黎曼流形上建立Faber-Krahn极小化器（即第一Dirichlet特征值最小化区域）的存在性。
• 研究Faber-Krahn极小化器在非紧致黎曼流形中是否存在，提供一般情形下存在性不成立的反例。
• 分析Faber-Krahn极小化器边界的正则性，特别是奇异集的结构。
• 将等周问题与自由边界理论中的技术推广至流形上的谱形状优化问题。
• 将Faber-Krahn谱型表征为体积的函数，揭示其与流形几何及谱性质的联系。

提出的方法

• 运用变分法中的直接法，证明紧致黎曼流形上极小化器的存在性。
• 将粘性解与椭圆正则性理论应用于特征值问题 $-\Delta_g u = \lambda_1 u$ 在 $\Omega^*$ 内且 $u=0$ 在 $\partial\Omega^*$ 上的情形。
• 通过加权散度形式方程，将Alt-Caffarelli型问题的自由边界正则性结果适配至黎曼流形设定。
• 采用爆破分析与单调性公式，研究边界 $\partial\Omega^*$ 的奇异集结构。
• 应用Weiss的单调性与密度间隙论证，证明奇异集的Hausdorff余维数至少为5。
• 利用Federer–Fleming与Weiss的约化原理，分析奇异点处的爆破行为，推导奇异集的维数上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致黎曼流形中，Faber-Krahn极小化器（即第一Dirichlet特征值最小化区域）是否存在？
• RQ2 能否保证Faber-Krahn极小化器在非紧致黎曼流形中存在？
• RQ3 在一般黎曼流形中，Faber-Krahn极小化器的边界具有何种正则性？
• RQ4 从Hausdorff维数角度看，边界的奇异集最大可能有多大？
• RQ5 等周问题中的技术在多大程度上可被适配至流形上的谱形状优化问题？

主要发现

• 当 $(M,g)$ 为紧致黎曼流形时，对任意固定体积 $m \in (0, \mathrm{Vol}_g(M))$，Faber-Krahn极小化器均存在。
• 构造了一个反例，表明在非紧致黎曼流形中Faber-Krahn极小化器可能不存在。
• 任何Faber-Krahn极小化器的边界在Hausdorff余维数至少为5的闭合奇异集之外均为 $C^{1,\alpha}$ 正则。
• 在 $n$-维流形中，边界的奇异集的Hausdorff维数至多为 $n-5$。
• 正则性结果通过爆破分析及自由边界理论中单调性与密度间隙技术的应用获得。
• Faber-Krahn谱型 $FK(m)$ 在 $(0, \mathrm{Vol}_g(M))$ 上有定义且下半连续，且与极小化器的第一特征值一致。