[论文解读] Existence and stability of standing waves for nonlinear fractional Schrödinger equations with Hartree type nonlinearity

Dan Wu|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文证明了质量亚临界分数阶非线性薛定谔方程（具有哈特定理型非线性项）的驻波解的存在性及其轨道稳定性。通过集中紧致性原理与对称递减重排方法，证明了极小化元的存在性，其为正函数，对平移与相位变换下具有对称性与递减性，并在 $H^\alpha(\mathbb{R}^d)$ 中构成一个稳定集合。

ABSTRACT

In this paper, we consider the nonlinear fractional Schrödinger equations with Hartree type nonlinearity. We obtain the existence of standing waves by studying the related constrained minimization problems by applying the concentration-compactness principle. Via symmetric decreasing rearrangements, we also show that the standing waves, up to a translations and phases, are positive symmetric nonincreasing functions. Moreover, we prove that the set of minimizers is a stable set for the initial value problem of the equations, that is, a solution whose initial data is near the set will remain near it for all time.

研究动机与目标

• 在质量亚临界情形下，证明具有哈特定理型非线性项的分数阶非线性薛定谔方程存在驻波解。
• 利用对称递减重排方法，刻画这些驻波解的对称性与衰减性质。
• 在方程的时间演化下，证明极小化元集合在 $H^\alpha(\mathbb{R}^d)$ 范数下的轨道稳定性。
• 解决质量亚临界分数阶NLS中具有非局部相互作用时，基态集合稳定性这一开放问题。

提出的方法

• 将驻波问题表述为在质量固定条件下的能量约束极小化问题，使用泛函 $E(u)$ 受限于 $M(u) = q$。
• 应用集中紧致性原理，证明极小化序列在平移变换下具有相对紧致性。
• 利用对称递减重排方法，证明极小化元在相位与平移变换下为径向对称、非增且为正函数。
• 证明极小化元集合 $G_q$ 在方程流下不变，并通过反证法与范数收敛性证明其满足稳定性准则。
• 利用质量与能量的守恒律，追踪近似 $G_q$ 的扰动初值的演化，确保能量与质量有界。
• 利用 $|g| \in G_q$ 且 $|g| > 0$ 的事实，证明解的相位为常数，从而表明解为相位平移后的正定对称函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在质量亚临界分数阶NLS中，具有哈特定理型非线性项时，能量泛函在质量固定的条件下是否存在极小化元？
• RQ2 在给定非线性项下，驻波解是否在相位与平移变换下具有对称性与正性？
• RQ3 能否在方程的时间演化下，证明极小化元集合 $G_q$ 在 $H^\alpha(\mathbb{R}^d)$ 范数下具有稳定性？
• RQ4 从霍尔曼德-索伯列夫空间的角度，驻波解的正则性与点态行为如何？
• RQ5 能否通过变分法与重排方法排除非径向解或非正解？

主要发现

• 在 $H^\alpha(\mathbb{R}^d)$ 中，能量在质量固定的约束下存在极小化元，因此 $G_q$ 非空。
• 每个极小化序列在平移变换下收敛，表明极小化元集合具有序列紧致性。
• 所有极小化元均为正、连续函数，且属于霍尔曼德-索伯列夫空间 $C^{[2\alpha],2\alpha-[2\alpha]}(\mathbb{R}^d)$。
• 经适当平移与相位旋转后，驻波解具有对称递减性质，即 $G_q \subset \{e^{i\theta}u(\cdot - y) \mid u \in S\}$。
• 集合 $G_q$ 在 $H^\alpha(\mathbb{R}^d)$ 范数下具有稳定性：从 $G_q$ 附近出发的解在所有时间均保持均匀接近于该集合。
• 解的 $L^2$-范数与能量守恒，且近似极小化序列的缩放初值在 $H^\alpha$-范数下收敛于一个极小化元。