[论文解读] Existence and uniqueness of Green's function to a nonlinear Yamabe problem

Yanyan Li, Luc Nguyen|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 45被引用 7

一句话总结

本文建立了在紧致黎曼流形去掉有限个点后，存在且唯一存在共形度量的必要且充分条件，使得每个点成为渐近平坦端，且共形度量的Schouten张量位于给定凸锥的边界上。关键贡献在于提出了连续共形度量的新型局部Ricci下界概念及其相应的体积比较定理。

ABSTRACT

For a given finite subset $S$ of a compact Riemannian manifold $(M,g)$ whose Schouten curvature tensor belongs to a given cone, we establish a necessary and sufficient condition for the existence and uniqueness of a conformal metric on $M \setminus S$ such that each point of $S$ corresponds to an asymptotically flat end and that the Schouten tensor of the conformal metric belongs to the boundary of the given cone. As a by-product, we define a purely local notion of Ricci lower bounds for continuous metrics which are conformal to smooth metrics and prove a corresponding volume comparison theorem.

研究动机与目标

• 确定在紧致黎曼流形 $ M \setminus S $ 上存在且唯一存在共形度量的必要且充分条件，使得 $ S $ 中每个点均为渐近平坦端。
• 刻画共形度量的Schouten张量的行为，要求其位于给定凸锥的边界上。
• 为与光滑黎曼度量共形的连续度量定义局部Ricci下界的概念。
• 在所提出的局部Ricci下界条件下建立体积比较定理。
• 将几何分析工具扩展至由紧致流形上孤立奇点产生的奇异共形度量。

提出的方法

• 利用共形几何技巧，将 $ M $ 上的原始黎曼度量 $ g $ 变换为 $ M \setminus S $ 上的新度量 $ \tilde{g} = u^{4/(n-2)}g $，其中 $ u $ 是在 $ S $ 之外为正的光滑函数。
• 对 $ \tilde{g} $ 的Schouten张量施加逐点约束，要求其位于给定凸锥的边界上，该条件推广了经典Yamabe问题中的标量曲率条件。
• 对共形因子 $ u $ 的结果完全非线性方程应用椭圆PDE理论与最大值原理论证，特别是在奇点附近。
• 通过基于粘性解或分布解意义下的曲率有界性的比较原理，为与光滑度量共形的连续度量引入局部Ricci下界。
• 利用爆破分析与在 $ S $ 每个点附近的渐近展开，验证渐近平坦端条件。
• 利用锥的边界作为自然约束，通过先验估计与拓扑度理论确保解的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，存在 $ M \setminus S $ 上的共形度量，使得 $ S $ 中每个点均为渐近平坦端，且Schouten张量位于给定锥的边界上？
• RQ2 在Schouten张量的几何约束与 $ S $ 处的渐近平坦性下，共形度量是否唯一确定？
• RQ3 能否为与光滑黎曼度量共形的连续度量定义有意义的Ricci下界概念？
• RQ4 在该新型局部Ricci下界条件下，体积比较定理是否成立？
• RQ5 Schouten张量在锥边界上的位置如何影响共形度量的存在性与正则性？

主要发现

• 建立了在 $ M \setminus S $ 上存在且唯一共形度量的必要且充分条件，该度量具有渐近平坦端，且Schouten张量位于给定锥的边界上。
• 本文为与光滑度量共形的连续度量定义了纯粹的局部Ricci下界概念，将曲率比较技术扩展至非光滑情形。
• 在新的Ricci下界条件下证明了体积比较定理，将经典结果推广至奇异共形度量。
• 通过精确控制共形因子在奇点附近的性态，实现了 $ S $ 中每点的渐近平坦性。
• 在给定几何约束下，即使存在孤立奇点，非线性Yamabe型问题的解也被证明是唯一的。
• Schouten张量的边界条件通过先验估计与拓扑度论证确保了解的存在性，将经典Yamabe问题推广至奇异情形。