[论文解读] Existence and uniqueness of (infinitesimally) invariant measures for second order partial differential operators on Euclidean space

Haesung Lee, Gérald Trutnau|arXiv (Cornell University)|May 20, 2021

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 41被引用 13

一句话总结

该论文在系数低正则性假设下，为 R^d 上二阶椭圆微分算子关联的（无穷小）不变测度建立了存在性与唯一性的充分条件。论文证明了关联的 Hunt 过程的常返性蕴含无穷小不变测度的唯一性，以及在局部有限测度中不变测度的存在性与唯一性，利用常返性的解析准则，并将不变性与保守性、L^r-唯一性及半群性质相联系。

ABSTRACT

We consider a locally uniformly strictly elliptic second order partial differential operator in $\mathbb{R}^d$, $d\ge 2$, with low regularity assumptions on its coefficients, as well as an associated Hunt process and semigroup. The Hunt process is known to solve a corresponding stochastic differential equation that is pathwise unique. In this situation, we study the relation of invariance, infinitesimal invariance, recurrence, transience, conservativeness and $L^r$-uniqueness, and present sufficient conditions for non-existence of finite infinitesimally invariant measures as well as finite invariant measures. Our main result is that recurrence implies uniqueness of infinitesimally invariant measures, as well as existence and uniqueness of invariant measures, both in subclasses of locally finite measures. We can hence make in particular use of various explicit analytic criteria for recurrence that have been previously developed in the context of (generalized) Dirichlet forms and present diverse examples and counterexamples for uniqueness of infinitesimally invariant, as well as invariant measures and an example where $L^1$-uniqueness fails for one infinitesimally invariant measure but holds for another and pathwise uniqueness holds. Furthermore, we illustrate how our results can be applied to related work and vice versa.

研究动机与目标

• 为 R^d 上低正则性系数的二阶椭圆算子关联的（无穷小）不变测度建立存在性与唯一性条件。
• 阐明此类算子及其关联半群背景下，常返性、过递性、保守性与 L^r-唯一性之间的相互作用。
• 提供有限不变测度或无穷小不变测度不存在的充分条件。
• 展示如何利用常返性的解析准则推导不变测度的唯一性结果。
• 将理论与随机分析中的应用相联系，包括路径唯一性与鞅问题。

提出的方法

• 在局部一致严格椭圆且低正则性假设（如局部 H"older 连续系数）下，分析通过系数 A = σσ^T 和漂移 G 定义的二阶椭圆算子 L。
• 利用在假设 (H) 下存在局部有限的无穷小不变测度 µ = ρdx，从而可在 L^1(R^d, μ) 上构造一个次马尔可夫 C0-半群 (T^μ_t)。
• 通过 (T^μ_t) 的正则化构造一个 Hunt 过程 M，证明 M 非爆炸当且仅当 (T^μ_t) 是保守的。
• 应用概率工具如 Krylov-Bogolyubov 方法与 Doob 定理，推导不变测度的存在性与唯一性。
• 采用时变 It\'o 公式与单调类论证，证明在保守性下半群 (T^μ_t) 与 (P^μ_t) 的等价性。
• 利用保守性的显式准则（如条件 (35)），将系数的解析界与关联 SDE 的路径性质相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，R^d 上的二阶椭圆算子会存在有限的无穷小不变测度？
• RQ2 关联的 Hunt 过程的常返性如何与无穷小不变测度及不变测度的唯一性相关？
• RQ3 何种条件可确保有限不变测度或无穷小不变测度不存在？
• RQ4 在路径唯一性成立的情况下，为何对某一无穷小不变测度 L^1-唯一性可能不成立，而对另一测度却成立？
• RQ5 在缺乏强 Feller 或不可约性假设时，如何利用常返性的解析准则推导不变测度的存在性与唯一性？

主要发现

• 关联 (T^μ_t) 的 Hunt 过程的常返性蕴含在局部有限测度中无穷小不变测度的唯一性。
• 在常返性下，局部有限测度类中不变测度的存在性与唯一性均成立。
• 提供了有限不变测度不存在的充分条件，尤其当漂移与扩散系数增长过慢时。
• 论文构造了一个例子，其中对某一无穷小不变测度 L^1-唯一性不成立，而对另一测度却成立，尽管 SDE 的路径唯一性成立。
• 半群 (T^μ_t) 是保守的当且仅当关联的 Hunt 过程 M 非爆炸，且保守性蕴含 M 几乎必然弱解 SDE (1)。
• 当 G 的分量为局部 H"older 连续且 (T^μ_t) 保守时，半群 (T^μ_t) 与 [23, 第二章 2.2 节] 和 [27, 第四节] 中构造的强 Feller 半群 (T(t)) 一致，建立了分析方法与概率方法之间的桥梁。