[论文解读] Existence for stochastic 2D Euler equations with positive $H^{-1}$ vorticity

Zdzisław Brzeźniak, Mario Maurelli|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 54被引用 5

一句话总结

本文建立了随机二维欧拉方程在传输型噪声下弱解、测度值解及$H^{-1}$-值解的存在性，初始涡度为$H^{-1}$中的任意非负值。通过在合适的函数空间框架下采用紧致性与收敛性论证，将德洛尔的确定性存在性定理推广至随机情形，证明了弱随机与分析解的存在。

ABSTRACT

We prove the existence of non-negative measure- and $H^{-1}$-valued vorticity solutions to the stochastic 2D Euler equations with transport vorticity noise, starting from any non-negative vortex sheet. This extends the result by Delort (J.Amer.Math.Soc. 1991) to the stochastic case.

研究动机与目标

• 建立随机二维欧拉方程在涡度形式下具有传输型噪声的弱解存在性。
• 将德洛尔针对非负$H^{-1}$-涡度初始数据的确定性存在性结果推广至随机情形。
• 处理初始涡度为非负测度且属于$H^{-1}$的情形，包括涡量片初始数据。
• 在环面上证明随机涡度方程在弱随机与分析意义下的弱存在性。
• 为随机流体动力学中处理不规则初始数据建立一个框架。

提出的方法

• 在二维环面$\mathbb{T}^2$上以乘法型、传输型噪声的形式表述随机二维欧拉方程的涡度形式。
• 利用毕奥-萨伐尔定律，通过涡度与奇异核$K = \nabla^\perp G$的卷积定义速度场，其中$G$为拉普拉斯算子的格林函数。
• 在$L^\infty_{t,\omega}(\mathcal{M}_x)$、$L^2_{t,\omega}(H^{-1}_x)$和$L^m_\omega(C^\alpha_t(H^{-4}_x))$中建立先验估计，以路径方式控制解。
• 在$H^{-1}$-值测度空间中应用紧致性论证，提取逼近解的收敛子列。
• 利用弱收敛与可测选择技术，证明非线性项与随机项的收敛性。
• 验证极限过程在弱意义下满足随机涡度方程，包括随机积分与非线性对流项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始涡度为$H^{-1}$中的非负测度时，随机二维欧拉方程的弱解是否存在？
• RQ2 通过传输型噪声引入的随机扰动是否保持了$H^{-1}$框架下测度值解的存在性？
• RQ3 如何将德洛尔的确定性存在性结果推广至具有不规则初始数据的随机情形？
• RQ4 在随机情形下，哪些先验估计足以确保逼近解的紧致性与收敛性？
• RQ5 能否证明极限解在弱随机与分析意义下满足随机涡度方程？

主要发现

• 本文证明了随机二维欧拉方程在传输型噪声下存在弱、测度值及$H^{-1}$-值解。
• 该解对任意初始涡度$\xi_0$均存在，其为$H^{-1}(\mathbb{T}^2)$中的非负测度，包括涡量片初始数据。
• 在$L^\infty_{t,\omega}(\mathcal{M}_x)$、$L^2_{t,\omega}(H^{-1}_x)$与$L^m_\omega(C^\alpha_t(H^{-4}_x))$中建立了先验估计，以控制解的路径行为。
• 在$H^{-1}$-值测度空间中证明了逼近解的律的紧致性，从而可提取收敛子列。
• 极限过程在弱意义下满足随机涡度方程，且非线性对流项与随机积分均收敛。
• 该结果将德洛尔的确定性存在性定理推广至随机情形，建立了弱存在性在随机与分析双重意义下的成立。