[论文解读] Existence of cscK metrics on smooth minimal models

Zakarias Sjöström Dyrefelt|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用 8

一句话总结

该论文证明了在紧致凯勒流形上，若其 canonical bundle 为 nef，则存在常数量曲率凯勒（cscK）度量，证实了 Jian-Shi-Song 的一个猜想。通过一种不依赖于丰沛猜想的直接证明，表明在接近典范类的凯勒类中，Mabuchi K-能量是适当的，从而推出所有光滑极小模型及其爆破上均存在 cscK 度量。

ABSTRACT

Given a compact Kähler manifold $X$ it is interesting to ask whether it admits a constant scalar curvature Kähler (cscK) metric. In this short note we show that there always exist cscK metrics on compact Kähler manifolds with nef canonical bundle, thus on all smooth minimal models, and also on the blowup of any such manifold. This confirms an expectation of Jian-Shi-Song \cite{JianShiSong} and extends their main result from $K_X$ semi-ample to $K_X$ nef, with a direct proof that does not appeal to the Abundance conjecture. As a byproduct we obtain that the connected component $\mathrm{Aut}_0(X)$ of a compact Kähler manifold with $K_X$ nef is either trivial or a complex torus.

研究动机与目标

• 为解决具有 nef canonical bundle 的紧致凯勒流形上 cscK 度量的存在性问题，将先前对半正则 canonical bundle 的结果推广至 nef canonical bundle。
• 提供一种不依赖于丰沛猜想的 cscK 度量存在性的直接证明，适用于射影与非射影流形。
• 证明此类流形的连通自同构群 Aut₀(X) 要么是平凡群，要么是复环面。
• 通过证明不存在非平凡的哈密顿向量场，将 cscK 度量的存在性推广至光滑极小模型的爆破。
• 通过凯勒锥中能量泛函的 J-协强制性来刻画 cscK 度量的存在性，从而建立几何与解析条件之间的联系。

提出的方法

• 使用 Mabuchi K-能量泛函，并证明在形式为 $-c_1(X) + \epsilon[\omega]$ 的凯勒类中其适当性，其中 $-c_1(X)$ 为 nef。
• 应用 Chen-Cheng 在空间 $\mathcal{E}^1$（有限能量势函数空间）上对能量泛函协强制性的理论工具。
• 引入一个数值不变量 $\delta([\omega]) = \delta_1([\omega]) - \delta_2([\omega])$ 以量化协强制性，并将其与经典的 alpha 不变量联系起来。
• 证明对于 $[\theta] = -c_1(X) + \delta([\omega])[\omega]$，$E_\omega^\theta$-泛函具有 J-协强制性，从而刻画 K-能量的适当性。
• 利用 $\delta([\omega]) > 0$ 且 $\delta([\omega]) \geq \frac{n+1}{n}\alpha_X([\omega])$ 的事实，确保在小扰动下保持协强制性。
• 应用 Arezzo-Pacard 关于爆破的结果，表明由于不存在非平凡的哈密顿向量场，爆破流形上也存在 cscK 度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有 nef canonical bundle 的紧致凯勒流形是否都存在 cscK 度量？
• RQ2 cscK 度量的存在性是否可在不假设丰沛猜想的前提下建立？
• RQ3 当 $-c_1(X)$ 为 nef 时，紧致凯勒流形 $X$ 的连通自同构群 Aut₀(X) 的结构是什么？
• RQ4 光滑极小模型的爆破是否也存在 cscK 度量？
• RQ5 对于此类流形，是否可证明 Mabuchi K-能量在接近典范类的凯勒类中是适当的？

主要发现

• 对于任意具有 $-c_1(X)$ nef 的紧致凯勒流形 $X$，存在 $\epsilon_{X,[\omega]} > 0$，使得对所有 $0 < \epsilon < \epsilon_{X,[\omega]}$，凯勒类 $-c_1(X) + \epsilon[\omega]$ 均存在唯一的 cscK 度量。
• 在这些类的凯勒势函数空间上，Mabuchi K-能量是 $d_1$-适当的，这蕴含了 cscK 度量的存在性。
• 连通自同构群 $\mathrm{Aut}_0(X)$ 要么是平凡群，要么是复环面，这是 K-能量适当性的推论。
• 具有 $-c_1(X)$ nef 的紧致凯勒流形的爆破也存在 cscK 度量，原因在于不存在非平凡的哈密顿向量场。
• 数值不变量 $\delta([\omega])$ 严格为正，且满足 $\delta([\omega]) \geq \frac{n+1}{n}\alpha_X([\omega]) > 0$，从而确保能量泛函的协强制性。
• 该结果适用于任意维度的紧致凯勒流形（无论射影或非射影），且无需依赖丰沛猜想。