[论文解读] Existence of isoperimetric regions in sub-Finsler nilpotent groups

Julián Pozuelo|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文在配备非对称左不变范数的子芬斯ler幂零群中建立了等周区域的存在性，推广了Leonardi与Rigot在Carnot群中的结果。通过证明一个一致的形变引理并借助几何测度论技术，作者表明等周轮廓是非减的、局部Lipschitz连续的且次可加的，且等周区域有界，其拓扑边界与本质边界重合。

ABSTRACT

We consider a nilpotent Lie group with a bracket-generating distribution $\hhh$ and an asymmetric left-invariant norm $\|\cdot\|_K$ induced by a convex body $K\subseteq\hhh$ containing $0$ in its interior. In this paper we prove the existence of minimizers of the perimeter functional $P_K$ associated to $\|\cdot\|_K$ under a volume (Haar measure) constraint. Our result generalizes the one of Leonardi and Rigot for Carnot groups.

研究动机与目标

• 在不假设存在膨胀映射（dilations）的条件下，建立子芬斯勒幂零群中等周区域的存在性，而这是Carnot群设定中的必要条件。
• 将Leonardi与Rigot在Carnot群中的存在性结果推广至更广泛的配备非对称范数的子芬斯勒幂零群类。
• 证明等周区域有界，且其拓扑边界与本质边界重合，从而将Carnot群中的结构性质推广。
• 建立等周轮廓的正则性性质，包括非减性、局部Lipschitz连续性及次可加性。
• 发展并应用一个一致的形变引理，以防止无穷远处的质量损失，确保极小化序列的紧致性。

提出的方法

• 通过构造一个形变引理（引理3.6）来适应Galli与Ritoré的策略，该引理允许在控制周长增长的同时增加体积。
• 利用幂零李群在括号生成分布下的内在几何结构，以及由包含原点的凸体诱导的非对称范数。
• 通过与在$K$-范数下有界的向量场的对偶性，应用$K$-周长的概念，将芬斯勒周长推广至子黎曼设定。
• 利用有限周长集序列在$L^1_{\text{loc}}$下的收敛性及紧致性论证，提取极限集合。
• 通过使用一致的形变引理（引理4.5）建立对体积-周长权衡的统一控制，从而证明等周轮廓的正则性。
• 依赖于Carnot群理论中的Ahlfors正则性与条件B，并将其适配至无需膨胀映射的子芬斯勒设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无膨胀映射存在的子芬斯勒幂零群中，对每个体积是否存在等周区域？
• RQ2 能否一致地应用形变引理，以控制体积增加并防止极小化序列中无穷远处的质量损失？
• RQ3 子芬斯勒幂零群中的等周区域是否为有界集，且其拓扑边界与本质边界是否重合？
• RQ4 在此设定下，等周轮廓$I_K(v)$具有何种正则性性质？
• RQ5 等周轮廓在子芬斯勒幂零群中是否满足次可加性且为局部Lipschitz连续？

主要发现

• 等周轮廓$I_K(v)$是非减的，如命题3.1所示。
• 通过一致形变引理（引理4.5）与推论4.6，证明了等周轮廓是局部Lipschitz连续的。
• 通过利用等周区域的不相交并集，证明了等周轮廓的次可加性，如推论4.4所示。
• 等周区域有界，且其拓扑边界与本质边界重合，如定理3.10与3.11所确立。
• 形变引理（引理3.6）确保任一有限$K$-周长集均可被形变以增加体积，且周长增长受到控制。
• 在定理4.3中证明了所有体积下等周区域的存在性，将Leonardi与Rigot的结果从Carnot群推广至更广的范畴。