[论文解读] Sub-Finsler Heisenberg Perimeter Measures

Andrew P. Sánchez|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文研究了子芬斯勒海森堡群中的周长测度与等周问题，将闵可夫斯基内容简化为涉及勒贝格面积和对偶范数的积分公式。研究结果表明，潘苏猜想——即在子黎曼情形下潘苏泡泡集是唯一的等周最优集——可能可推广至一般子芬斯勒度量，因为计算示例显示，在闵可夫斯基内容与反闵可夫斯基内容下，潘苏泡泡集在等周比方面均优于其他候选解。

ABSTRACT

This work is an investigation of perimeter measures in the metric measure space given by the Heisenberg group with Haar measure and a Carnot-Carathéodory metric, which is in general a sub-Finsler metric. Included is a reduction of Minkowski content in any CC-metric to an integral formula in terms of Lebesgue surface area in $\mathbb{R}^3$. Using this result, I study two perimeter measures that arise from the study of Finsler normed planes, and provide evidence that Pansu's conjecture regarding the isoperimetric problem in the sub-Riemannian case appears to hold in the more general sub-Finsler case. This is contrary to the relationship between Finsler and Riemannian isoperimetrices. In particular, I show that for any CC-metric there exist a class of surfaces with Legendrian foliation by CC-geodesics generalizing Pansu's bubble set, but that even in their natural metric using either perimeter measure, the computed examples of such surfaces have lower isoperimetric ratio than the Pansu bubble set, which has Legendrian foliation by sub-Riemannian geodesics.

研究动机与目标

• 研究由赋范平面上的范数导出的一般卡诺-卡拉西奥多里度量下的海森堡群中的等周问题，超越子黎曼情形。
• 通过分析两种自然定义——闵可夫斯基内容与反闵可夫斯基内容——来解决子芬斯勒几何中周长测度的歧义。
• 确定潘苏猜想（即在子黎曼情形下潘苏泡泡集是唯一的等周最优集）是否在更广泛的子芬斯勒设定中成立。
• 构造广义的 $Q$-泡泡集，作为具有勒让德叶状结构的测地线的曲面，并评估其等周性能。
• 在两种周长测度下，计算并比较各种候选曲面（包括度量球、$Q$-泡泡集和潘苏泡泡集）的等周比。

提出的方法

• 将任意卡诺-卡拉西奥多里度量下的闵可夫斯基内容简化为 $\mathbb{R}^3$ 中勒贝格面积的积分，利用对偶范数 $||\cdot||_{Q^*}$ 和单位法向量 $\vec{n}$。
• 应用积分公式计算 $C^1$ 和 $C^2$ 曲面的周长，特别关注多边形卡诺-卡拉西奥多里度量，并分析平均曲率分布。
• 将 $Q$-泡泡集构造为由 $d_Q$-测地线构成的叶状曲面，将潘苏的泡泡集推广至子芬斯勒设定。
• 利用积分公式，对关键候选解（潘苏泡泡集、$Q$-泡泡集、$Q^*$-泡泡集和度量球）进行等周比的数值计算。
• 在闵可夫斯基内容与反闵可夫斯基内容下比较等周比，以评估最优性。
• 利用子黎曼几何中的已知界，建立子芬斯勒设定下等周常数的下界与上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般卡诺-卡拉西奥多里度量下，潘苏泡泡集是否仍是子芬斯勒海森堡群中的等周最优集，还是其他曲面会成为最优？
• RQ2 在子芬斯勒几何中，两种自然周长测度——闵可夫斯基内容与反闵可夫斯基内容——的行为如何？它们是否产生一致的最优性排序？
• RQ3 子芬斯勒度量下的闵可夫斯基内容能否简化为涉及勒贝格面积与对偶范数的可计算积分？
• RQ4 广义的 $Q$-泡泡集（将潘苏泡泡集推广至非黎曼范数）在等周性能上是否劣于潘苏泡泡集？
• RQ5 在基于 $||\cdot||_1$ 的子芬斯勒度量下，潘苏泡泡集的等周比与度量球、$Q$-泡泡集及 $Q^*$-泡泡集相比如何？

主要发现

• 在具有卡诺-卡拉西奥多里度量 $d_Q$ 的海森堡群中，$C^1$ 曲面的闵可夫斯基内容可简化为涉及对偶范数 $||\cdot||_{Q^*}$ 和单位法向量的积分，从而实现显式计算。
• 对于多边形卡诺-卡拉西奥多里度量，$C^2$ 曲面的平均曲率集中于 $C^1$ 曲线与孤立点上，意味着其几乎处处为零，与子黎曼情形下的常平均曲率一致。
• 在基于 $||\cdot||_1$ 的度量下，潘苏泡泡集在闵可夫斯基内容下的等周比为 $0.357117$，在反闵可夫斯基内容下为 $0.50504$，优于所有其他测试曲面。
• 在闵可夫斯基内容下，$Q$-泡泡集（菱形泡泡集）的等周比为 $0.284938$，在反闵可夫斯基内容下为 $0.379918$，表明其性能次优。
• $Q^*$-泡泡集（正方形泡泡集）的比值更低：分别为 $0.268642$ 和 $0.228175$，进一步证实其子优性。
• 尽管一般芬斯勒几何原理表明黎曼等周最优集并非芬斯勒等周最优集，但潘苏泡泡集——最初仅针对子黎曼情形提出——在子芬斯勒 $||\cdot||_1$ 情形下仍表现最优，提示潘苏猜想可能存在推广。