[论文解读] Existence of positive solutions in the superlinear case via coincidence degree: the Neumann and the periodic boundary value problems

Guglielmo Feltrin, Fabio Zanolin|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 32被引用 19

一句话总结

本文建立了二阶超线性不定问题 $ u'' + a(x)g(u) = 0 $ 的正周期解与Neumann解存在的充分条件，其中 $ g(u) $ 在零点与无穷远处均表现出超线性增长，且 $ a(x) $ 为变号函数。通过Mawhin的一致度理论，作者推导出非平凡正解存在的充要条件，将先前仅限于Dirichlet问题的结果推广至Neumann与周期情形。

ABSTRACT

We prove the existence of positive periodic solutions for the second order nonlinear equation $u" + a(x) g(u) = 0$, where $g(u)$ has superlinear growth at zero and at infinity. The weight function $a(x)$ is allowed to change its sign. Necessary and sufficient conditions for the existence of nontrivial solutions are obtained. The proof is based on Mawhin's coincidence degree and applies also to Neumann boundary conditions. Applications are given to the search of positive solutions for a nonlinear PDE in annular domains and for a periodic problem associated to a non-Hamiltonian equation.

研究动机与目标

• 建立具有Neumann与周期边界条件的超线性不定边值问题中正解存在的判别准则。
• 利用拓扑方法将先前仅限于Dirichlet问题的结果推广至Neumann与周期情形。
• 分析具有负均值的变号权函数 $ a(x) $ 在超线性非线性项下如何仍能允许正解的存在。
• 为超线性情形下非平凡正解的存在性提供必要且充分的条件。
• 将所得结果应用于环形区域上的非线性PDE及非哈密顿周期问题。

提出的方法

• 应用Mawhin的一致度理论，分析Neumann与周期边值问题中解的存在性。
• 利用先验估计与拓扑度论证处理满足 $ g(0) = 0 $、$ g(s) > 0 $（对所有 $ s > 0 $）且在零点与 $ +\infty $ 处均具有超线性增长的超线性非线性项 $ g(u) $。
• 应用Sturm比较定理与特征值估计，控制在 $ a(x) > 0 $ 的子区间内解的行为，特别关注 $ a(x) $ 为正的区间 $ J $。
• 构造近似解序列 $ \tilde{u}_n $，并利用凹性与比较技巧，通过与正特征函数 $ \varphi $ 的积分导出矛盾估计。
• 利用 $ h(x,s) $ 的Carathéodory条件与可积性假设，将控制收敛定理应用于极限论证。
• 通过证明某非负量必须为正，从而导出矛盾，证明在特定假设下大解不存在，进而推出先验估计的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在超线性不定Neumann与周期边值问题中，正解存在的必要且充分条件是什么？
• RQ2 具有负均值的变号函数 $ a(x) $，特别是其符号变化特性，如何影响超线性情形下正解的存在性？
• RQ3 Mawhin的一致度方法能否从Dirichlet问题推广至Neumann与周期问题中的超线性不定方程？
• RQ4 在不定权函数下，$ g(u) $ 在零点与无穷远处的超线性增长在何种机制下仍能促成正解的存在？
• RQ5 拓扑方法如何适应Neumann/周期问题中第一特征值 $ \lambda_0 > 0 $ 缺失的情况？

主要发现

• 本文证明了在 $ g(u) $ 满足超线性增长条件时，即使 $ a(x) $ 变号，Neumann与周期边值问题仍至少存在一个正解。
• 存在性的必要条件为 $ \int_0^T a(x)\,dx < 0 $，该条件由分部积分与 $ g'(s) $ 的正性导出，确保权函数不能为非负。
• 作者证明了Neumann/周期情形下的第一特征值 $ \lambda_0 $ 为零，这使得经典Dirichlet问题中使用的方法失效，因而必须采用新方法。
• 通过构造解序列 $ \tilde{u}_n $，并结合正特征函数 $ \varphi $ 的Sturm比较，若解无界则可导出矛盾，从而证明先验估计的存在性。
• 矛盾源于证明一个下界为 $ \varepsilon N \int_J q_N(x)\varphi(x)\,dx > 0 $ 的量必须 $ \leq 0 $，而这是不可能的。
• 该方法适用于Neumann与周期问题，因为边界条件不影响核心矛盾论证，该论证仅依赖于解的非负性与凹性。