[论文解读] Positive solutions for super-sublinear indefinite problems: high multiplicity results via coincidence degree

Alberto Boscaggin, Guglielmo Feltrin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2015

Nonlinear Partial Differential EquationsMathematics参考文献 65被引用 20

一句话总结

本文证明了对于具有 $m$ 个正峰和 $m$ 个负峰的权函数 $a(t)$ 的超-次线性不定二阶微分方程，存在 $3^m - 1$ 个正的 $T$-周期解。通过在无界开集上应用重合度理论，作者证明了当正参数 $ olambda$ 和 $ mu$ 足够大时解的高重数性，将结果推广至诺伊曼和狄利克雷边界条件，并建立了符号动力学与次谐和解。

ABSTRACT

We study the periodic boundary value problem associated with the second order nonlinear equation \\begin{equation*} u'' + ( \\lambda a^{+}(t) - \\mu a^{-}(t) ) g(u) = 0, \\end{equation*} where $g(u)$ has superlinear growth at zero and sublinear growth at infinity. For $\\lambda, \\mu$ positive and large, we prove the existence of $3^{m}-1$ positive $T$-periodic solutions when the weight function $a(t)$ has $m$ positive humps separated by $m$ negative ones (in a $T$-periodicity interval). As a byproduct of our approach we also provide abundance of positive subharmonic solutions and symbolic dynamics. The proof is based on coincidence degree theory for locally compact operators on open unbounded sets and also applies to Neumann and Dirichlet boundary conditions. Finally, we deal with radially symmetric positive solutions for the Neumann and the Dirichlet problems associated with elliptic PDEs.

研究动机与目标

• 建立一类具有不定权函数的二阶非线性 ODE 的正周期解的高重数性。
• 分析参数缩放 ($\lambda, \mu \to \infty$) 在生成复杂解结构中的作用。
• 利用拓扑方法将重数结果从狄利克雷条件推广至诺伊曼和周期边界条件。
• 展示解集中存在大量次谐和解及符号动力学。

提出的方法

• 将问题表述为 $u'' + (\lambda a^+(t) - \mu a^-(t))g(u) = 0$，其中 $g$ 在零点处为超线性，在无穷远处为次线性。
• 对无界开集上的局部紧算子应用重合度理论，计算相关算子的度。
• 使用组合恒等式在解空间的不相交子集上计算度，这些子集由 $\mathcal{I}'$ 和 $\mathcal{J}'$ 索引，利用容斥原理与奇偶性论证。
• 证明度为 $(-1)^{\#\mathcal{I}'}$，从而表明每个正峰的非空子集至少对应一个解。
• 通过将拓扑框架适配至相应解空间，将该方法应用于诺伊曼和狄利克雷边界条件。
• 通过分析参数变化下解集的结构，推导出符号动力学与次谐和解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当权函数具有 $m$ 个正峰和 $m$ 个负峰时，超-次线性不定 ODE 存在多少个正的 $T$-周期解？
• RQ2 重合度理论能否扩展至无界区域，以证明具有混合增长非线性的不定问题中的解重数性？
• RQ3 当 $ olambda$ 和 $ mu$ 均很大时，参数 $ olambda$ 和 $ mu$ 在生成解的高重数性中起什么作用？
• RQ4 在这些条件下，解集是否表现出复杂动力学行为，如符号动力学或次谐和解？
• RQ5 结果能否从周期条件推广至诺伊曼和狄利克雷边界条件？

主要发现

• 当权函数具有 $m$ 个正峰和 $m$ 个负峰，且 $ olambda$ 和 $ mu$ 足够大时，方程至少存在 $3^m - 1$ 个正的 $T$-周期解。
• 解的重数性源于正峰的组合结构以及解空间子集上的拓扑度计算。
• 该方法适用于诺伊曼和狄利克雷边界条件，将先前仅限于狄利克雷情形的结果进行了推广。
• 解集包含无穷多个次谐和解，表明其具有丰富的动力学行为。
• 在解集中建立了符号动力学，意味着在参数变化下表现出类似混沌的行为。
• 度的计算依赖于索引集子集的一个关键组合恒等式，确保度非平凡，从而保证解的存在性。