[论文解读] Existence of solution for Hilfer fractional differential equations with boundary value conditions

Mohammed S. ‬Abdo, Satish K. Panchal+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过将问题转化为加权连续函数空间中的等价积分方程，建立了具有边界条件的Hilfer分数阶微分方程解的存在性结果。在非线性项的假设条件最小化的前提下，利用Schauder、Schaefer和Krasnosel'ski的不动点定理，证明了至少一个解的存在性，且在更强条件下证明了解的唯一性，通过具体示例（含显式参数计算）进行了验证。

ABSTRACT

In this paper, we consider a class of nonlinear fractional differential equations involving Hilfer derivative with boundary conditions. First, we obtain an equivalent integral for the given boundary value problem in weighted space of continuous functions. Then we obtain the existence results for a given problem under a new approach and minimal assumptions on nonlinear function f. The technique used in the analysis relies on a variety of tools including Schauder, Schaefer and Krasnoselski fixed point theorems. We demonstrate our results through illustrative examples.

研究动机与目标

• 建立具有非局部边界条件的Hilfer分数阶微分方程解的存在性与唯一性。
• 将两点边值问题转化为加权连续函数空间中的等价积分方程。
• 在非线性函数f的假设条件最小化的前提下分析该问题，避免强Lipschitz或紧致性条件。
• 在适用于工程与应用科学的一般且有效的框架中应用不动点定理。

提出的方法

• 将Hilfer分数阶边值问题转化为加权空间 $ C_{n-eta}^{eta}[a,b] $ 中的等价积分方程，其中 $ \gamma = \alpha + \beta(1-\alpha) $。
• 应用Schauder、Schaefer和Krasnosel'ski的不动点定理，证明解的存在性与唯一性。
• 利用Riemann-Liouville分数阶积分与Mittag-Leffler函数的性质推导积分表达式。
• 通过Arzelà-Ascoli定理证明像集的等度连续性与相对紧致性。
• 通过涉及Beta函数与Gamma函数的估计，验证算子的等度连续性与紧致性。
• 通过具体示例验证结果，其中 $ \alpha = \frac{1}{2}, \beta = \frac{1}{3} $，且 $ f(t,z) = t^{-1/6} + \frac{1}{16}t^{5/6}\sin z(t) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性函数 $ f $ 的何种最小条件下，具有边界条件的Hilfer分数阶微分方程存在解？
• RQ2 如何将边值问题转化为加权函数空间中的等价积分方程？
• RQ3 哪些不动点定理可在不依赖强Lipschitz或紧致性假设的前提下，有效证明解的存在性与唯一性？
• RQ4 在Hilfer导数的背景下，这些结果能否推广至非局部及积分型边界条件？
• RQ5 具体参数值与范数如何影响具体示例中解的存在性与唯一性？

主要发现

• 问题被转化为加权空间 $ C_{n-eta}^{eta}[a,b] $ 中的等价积分方程，从而可应用不动点理论。
• 利用Krasnosel'ski的不动点定理证明了至少一个解的存在性，其依据为等度连续性与相对紧致性。
• 当 $ f $ 满足Lipschitz条件且满足特定参数不等式时，存在唯一解，示例中 $ \mathcal{W} \simeq 0.14 < 1 $ 且 $ \mathcal{G} \simeq 0.19 < 1 $。
• 在 $ \alpha = \frac{1}{2}, \beta = \frac{1}{3} $ 的示例中，确认了在多个条件（H1）、（H2）、（H3）及（H4）–（H5）下解的存在性，所有关键不等式均得到数值验证。
• 解属于空间 $ C_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}([0,1]) $，表明该框架适用于具有弱奇异性非线性项的问题。
• 该框架具有普遍性与有效性，由于对 $ f $ 的假设条件极低，其结果可广泛应用于工程与应用科学领域。