[论文解读] Existence of Stein Kernels under a Spectral Gap, and Discrepancy Bound

Thomas A. Courtade, Max Fathi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文通过变分法，证明了满足庞加莱不等式的 ℝᵈ 上概率测度存在 Stein 核。推导出与维度无关的 Stein 散度界，并证明当 Stein 核存在时，Stein 散度沿中心极限定理严格递减，且可控制偏度，从而在维度相关最优意义下，获得多维中心极限定理在 Wasserstein 距离 W₂ 下的最优收敛速率。

ABSTRACT

We establish existence of Stein kernels for probability measures on $\mathbb{R}^d$ satisfying a Poincaré inequality, and obtain bounds on the Stein discrepancy of such measures. Applications to quantitative central limit theorems are discussed, including a new CLT in Wasserstein distance $W_2$ with optimal rate and dependence on the dimension. As a byproduct, we obtain a stability version of an estimate of the Poincaré constant of probability measures under a second moment constraint. The results extend more generally to the setting of converse weighted Poincaré inequalities. The proof is based on simple arguments of calculus of variations. Further, we establish two general properties enjoyed by the Stein discrepancy, holding whenever a Stein kernel exists: Stein discrepancy is strictly decreasing along the CLT, and it controls the skewness of a random vector.

研究动机与目标

• 在任意维度下建立 Stein 核存在的充分条件。
• 为满足庞加莱不等式的测度推导出与维度无关的 Stein 散度界。
• 当存在 Stein 核时，证明 Stein 散度沿中心极限定理（CLT）严格递减。
• 证明 Stein 散度可控制随机向量的偏度。
• 在满足庞加莱不等式条件下，获得多维中心极限定理在 Wasserstein 距离 W₂ 下的最优收敛速率。

提出的方法

• 通过变分法，在庞加莱不等式条件下证明 Stein 核的存在性。
• 应用分部积分公式 (1)，通过 Hilbert-Schmidt 内积定义 Stein 核。
• 利用庞加莱常数和二阶矩，推导出与维度无关的 Stein 散度界。
• 利用 Ornstein-Uhlenbeck 半群的性质，建立 Stein 散度沿 CLT 的单调性。
• 通过 Stein 散度与 W₂ 距离的关系，推导出庞加莱常数的稳定性估计。
• 通过 Hölder 不等式和对偶性，将结果推广至反向加权庞加莱不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，ℝᵈ 上的概率测度存在 Stein 核？
• RQ2 对于满足庞加莱不等式的测度，能否以与维度无关的方式界定 Stein 散度？
• RQ3 当存在 Stein 核时，Stein 散度是否沿中心极限定理单调递减？
• RQ4 能否利用 Stein 散度控制随机向量的偏度？
• RQ5 在满足庞加莱不等式条件下，多维中心极限定理在 Wasserstein 距离 W₂ 下的最优收敛速率是多少？

主要发现

• 任何满足庞加莱不等式的 ℝᵈ 上的概率测度均存在 Stein 核，解决了 [42] 中提出的一个开放问题。
• 当存在 Stein 核时，Stein 散度沿 CLT 严格递减，类似于熵和费雪信息量的性质。
• Stein 散度可控制随机向量的偏度，提供了一种非高斯性的定量度量。
• 本文建立了多维中心极限定理在 W₂ 距离下的收敛速率阶为 O(1/n)，该速率最优且依赖于维度。
• 在二阶矩归一化下，导出了庞加莱常数的稳定下界：Cₚ ≥ 1 + W₂(ν, γ)²/d。
• 结果可推广至反向加权庞加莱不等式，得到涉及权函数 Lᵖ 与 L^q 范数的广义界。