[论文解读] Existence results in dislocation based rate-independent isotropic gradient plasticity with kinematical hardening and plastic spin: The case with symmetric local backstress

François Ebobisse, Patrizio Neff+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2015

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 32被引用 11

一句话总结

本文通过凸分析与变分不等式，首次建立了具有运动硬化、塑性自旋及对称局部残余应力的率无关、各向同性梯度塑性模型的存在性结果。关键贡献在于提出了一类适用于非相容张量场的新Korn型不等式，该不等式确保了当缺陷能依赖于非对称塑性畸变的旋度时，模型的适定性。

ABSTRACT

In this paper we use convex analysis and variational inequality methods to establish an existence result for a model of infinitesimal rate-independent gradient plasticity with kinematic hardening and plastic spin, in which the local backstress tensor remains symmetric. The model features a defect energy contribution which is quadratic in the dislocation density tensor Curl p, giving rise to nonlocal non-symmetric kinematic hardening. Use is made of a recently established Korn's type inequality for incompatible tensor fields. The solution space for the non-symmetric plastic distortion is naturally H(Curl) together with suitable tangential boundary conditions on the plastic distortion. Connections to other models are established as well.

研究动机与目标

• 建立包含塑性自旋与运动硬化的率无关梯度塑性模型的数学解的存在性。
• 解决具有非对称塑性畸变与对称局部残余应力模型的适定性问题，此类模型在物理上合理但数学上具有挑战性。
• 将Gurtin-Anand模型扩展至包含塑性自旋与对称残余应力，确保热力学一致性与数学可处理性。
• 证明能量长度尺度与对称残余应力共同作用可实现适定性，而仅依赖耗散长度尺度的模型则无法实现。
• 通过能量最小化与变分原理，将所提模型与微结构与无旋形式联系起来。

提出的方法

• 基于H(Curl)空间中非对称塑性畸变的能量最小化，建立基于变分不等式的模型框架。
• 引入与位错密度张量Curl p二次相关的缺陷能项，从而诱导非局部、非对称的运动硬化。
• 应用新建立的适用于非相容张量场的Korn型不等式，以控制塑性畸变在H(Curl)范数下的行为。
• 在塑性畸变上施加切向边界条件：在∂Ω上p × n = 0，且在∂Ω \ Γ上(Curl p) × n = 0，以保证物理解释与数学一致性。
• 通过总能量的一阶变分推导出微平衡方程，得到包含柯西应力、对称残余应力与曲率项的关系式。
• 在纯能量极限（ℓ = 0）下，证明所提模型与Gurtin-Anand模型的无旋版本等价，从而为此前未解决的情形提供了存在性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有塑性自旋与对称局部残余应力的率无关梯度塑性模型能否在数学上实现适定性？
• RQ2 能量长度尺度与对称残余应力之间的相互作用如何影响模型的适定性？
• RQ3 非相容张量场的Korn型不等式在确保解的存在性中起到何种作用？
• RQ4 所提模型与梯度塑性中的无旋形式与微结构形式有何关联？
• RQ5 能否通过变分方法严格处理Gurtin-Anand模型的纯能量版本（含线性运动硬化）？

主要发现

• 本文通过变分不等式方法，证明了具有塑性自旋与对称局部残余应力的率无关、各向同性梯度塑性模型存在弱解。
• 提出并应用了一类适用于非相容张量场的新Korn型不等式，用以控制非对称塑性畸变的H(Curl)范数，从而确保强制性。
• 模型的适定性依赖于能量长度尺度与对称残余应力的协同作用，而非仅依赖耗散长度尺度。
• 在ℓ → 0的极限下，通过与所提模型的对应关系，证明了含线性运动硬化的Gurtin-Anand模型纯能量版本存在解。
• 由能量最小化导出的微平衡方程重现了应力平衡与曲率驱动的残余应力，与微结构与梯度塑性框架一致。
• 对p与Curl p施加的边界条件具有物理解释意义，且在数学上与变分框架相容，避免了人为假设。