[论文解读] Existence, uniqueness and approximation for stochastic Schrodinger equation: the Poisson case

Clément Pellegrini|ArXiv.org|Sep 24, 2007

Quantum Mechanics and Applications参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文通过随机测度论和离散量子重复相互作用模型，严格建立了由泊松过程驱动的随机薛定谔方程的解的存在性、唯一性及弱收敛性。证明了连续跳变型量子轨迹是具体离散时间物理模型的极限，通过随机耦合极限方法，严谨地验证了贝拉夫金跳变方程。

ABSTRACT

In quantum physics, recent investigations deal with the so-called "quantum trajectory" theory. Heuristic rules are usually used to give rise to "stochastic Schrodinger equations" which are stochastic differential equations of non-usual type describing the physical models. These equations pose tedious problems in terms of mathematical justification: notion of solution, existence, uniqueness, justification... In this article, we concentrate on a particular case: the Poisson case. Random measure theory is used in order to give rigorous sense to such equations. We prove existence and uniqueness of a solution for the associated stochastic equation. Furthermore, the stochastic model is physically justified by proving that the solution can be obtained as a limit of a concrete discrete time physical model.

研究动机与目标

• 为具有跳变型噪声的随机薛定谔方程，特别是贝拉夫金跳变方程，提供严格的数学基础。
• 解决在驱动过程依赖于解路径时，跳变型方程解的定义中存在的模糊性问题。
• 将连续跳变模型证明为一个物理上可实现的离散时间量子重复测量过程的极限。
• 利用随机泊松测度理论和路径分析，建立弱解的存在性与唯一性。
• 在D([0,T])上证明离散量子轨迹收敛于连续量子轨迹。

提出的方法

• 使用随机泊松测度理论，严格定义跳变方程中的随机积分，克服状态依赖强度带来的问题。
• 应用随机耦合极限方法，比较离散与连续量子轨迹，实现收敛性分析。
• 在量子重复相互作用框架中采用重整化相互作用模型，其中每个系统以时间h与一维辅助系链依次相互作用。
• 为跳变方程开发一种离散欧拉格式，并利用新颖的离散格朗沃尔型不等式证明其收敛性。
• 通过条件期望和矩界控制离散与连续过程之间的差异。
• 通过结合欧拉格式的界与极限过程的收敛性，证明在Skorokhod空间D([0,T])中的分布收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有状态依赖强度驱动过程的跳变型噪声随机薛定谔方程，构建一个严格的概率框架？
• RQ2 泊松过程驱动的贝拉夫金跳变方程是否存在弱解？其唯一性如何？
• RQ3 连续跳变模型能否作为重复量子测量具体离散物理模型的极限推导得出？
• RQ4 当经典随机积分理论失效时，证明离散量子轨迹收敛于连续解所需的数学工具是什么？
• RQ5 在缺乏科特兹-普罗特尔型收敛结果适用于跳变过程的情况下，如何建立收敛性？

主要发现

• 通过随机泊松测度理论，严格证明了泊松过程驱动的随机薛定谔方程弱解的存在性与唯一性。
• 基于自旋链重复相互作用与离散测量的离散量子轨迹模型，在D([0,T])中收敛于连续量子轨迹。
• 证明了跳变方程的离散欧拉格式收敛，误差界为O(1/n)，并使用了新颖的离散格朗沃尔型不等式。
• 收敛结果依赖于随机耦合极限方法，该方法即使在强度具有非马尔可夫性时，仍能比较离散与连续动力学。
• 证明了解的跳变方程在物理上是合理的，即为具体物理模型的极限，从而解决了长期存在的启发式推导问题。
• 收敛在任意有限区间[0,T]上一致成立，误差随n增大以O(1/n)速率衰减。