[论文解读] Existence, Uniqueness and Regularity of Decoupling Fields to Multidimensional Fully Coupled FBSDEs

Alexander Fromm, Peter Imkeller|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 12

一句话总结

本文通过引入解耦场的概念，建立了多维完全耦合正向-反向随机微分方程（FBSDEs）的全局存在性、唯一性和正则性理论。通过提出最大区间的概念，并在Lipschitz条件下采用构造性Picard-Lindel"of迭代，作者证明了解的变分可微性，并提出一种基于反证法的验证方法以确认适定性，从而将先前仅限于一维和适定情形的结果推广至更一般的情形。

ABSTRACT

We develop an existence, uniqueness and regularity theory for general multidimensional strongly coupled FBSDE using so called decoupling fields. We begin with a local result and extend it to a global theory via concatenation. The cornerstone of the global theory is the so called maximal interval which is, roughly speaking, the largest interval on which reasonable solutions exist. A method to verify that the maximal interval is the whole interval, for problems in which this is conjectured, is proposed. As part of our study of the regularity of solutions constructed we show variational differentiability under Lipschitz assumptions. Extra emphasis is put on the more special Markovian case in which assumptions on the Lipschitz continuity for the FBSDE can be weakened to local ones, and additional regularity properties emerge.

研究动机与目标

• 发展一种适用于多维强耦合FBSDEs的一般存在性、唯一性和正则性理论，超越适定情形的限制。
• 引入最大区间作为核心概念，表示合理解存在的最大定义域。
• 在Lipschitz假设下，建立解关于初值x的变分可微性。
• 提出一种通用的反证法验证方法，以确认最大区间等于[0,T]，从而证明适定性，尤其适用于最大区间被推测为[0,T]的情形。
• 将正则性结果推广至马尔可夫情形，将全局Lipschitz条件弱化为局部Lipschitz条件。

提出的方法

• 在小时间段上通过压缩型Picard-Lindel"of迭代构造局部解，确保在全局Lipschitz连续性条件下存在唯一解。
• 将解耦场定义为在局部上能解耦FBSDE系统的随机场，从而实现解的迭代构造。
• 通过在重叠区间上拼接局部解，将理论推广至全局，依赖于最大区间的概念。
• 应用弱导数与变分导数，证明解关于初值x是弱可微的，从而确立非马尔可夫情形下的变分可微性。
• 提出一种基于反证法的验证方法，以确认最大区间等于[0,T]，从而证明适定性。
• 分析最大区间左端点处解耦场的行为，推导出不适定性的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，多维完全耦合FBSDEs能在整个时间区间[0,T]上存在解？
• RQ2 如何刻画解存在的最大区间（称为最大区间）？
• RQ3 在何种条件下，能保证解过程X、Y、Z关于初值x的变分可微性？
• RQ4 如何验证最大区间等于[0,T]，从而确认适定性？
• RQ5 在马尔可夫情形下，如何在保持正则性和存在性的同时，将全局Lipschitz假设弱化为局部Lipschitz假设？

主要发现

• 在系数全局Lipschitz连续的条件下，通过构造性Picard-Lindel"of迭代，建立了关于解耦场的局部存在性与唯一性结果。
• 证明了解(X, Y, Z)关于初值x是弱可微的，从而在非马尔可夫情形下确立了变分可微性。
• 最大区间被定义为存在合理解的最大定义域，且其为包含0的闭区间。
• 提出一种基于反证法的验证方法，以确认最大区间与[0,T]重合，从而确认适定性。
• 在马尔可夫情形下，可将全局Lipschitz条件替换为局部Lipschitz条件，从而提升解耦场的正则性性质。
• 弱可微性证明依赖于Sobolev型空间中的弱收敛性，结合有界区域内的测试函数，最终通过Lebesgue微分定理建立弱导数L2-范数的上界。