[论文解读] Exit problems for general draw-down times of spectrally negative Lévy processes

Bo Li, Nhat Linh Vu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2017

Probability and Risk Models参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文为谱负 Lévy 过程中涉及依赖运行最大值的动态下降水平的一般下降时间，建立了联合拉普拉斯变换。通过点蚀理论与 scale 函数，推导出与这些下降时间相关的 hitting 时间、creeping 时间及潜在测度的拉普拉斯变换表达式，将已知结果推广至更广泛的动态退出水平类别。

ABSTRACT

For spectrally negative Lévy processes, we prove several fluctuation results involving a general draw-down time, which is a downward exit time from a dynamic level that depends on the running maximum of the process. In particular, we find expressions of the Laplace transforms for the two-sided exit problems involving the draw-down time. We also find the Laplace transforms for the hitting time and creeping time over the running-maximum related draw-down level, respectively, and obtain an expression for a draw-down associated potential measure. The results are expressed in terms of scale functions for the spectrally negative Lévy processes.

研究动机与目标

• 将谱负 Lévy 过程的退出问题结果从固定水平下降推广至依赖运行最大值的动态下降水平。
• 解决波动理论中时间变换下降水平的联合拉普拉斯变换缺乏显式表达式的问题。
• 通过 scale 函数将现有关于 hitting 时间、creeping 时间及潜在测度的结果推广至一般下降函数。
• 利用点蚀理论与路径分解技术，统一并推广先前关于下降时间的研究成果。

提出的方法

• 应用点蚀理论分析谱负 Lévy 过程在动态下降时间处的波动行为。
• 使用 scale 函数 $ W^{(q)} $ 和 $ Z^{(q)} $ 表达退出时间与状态的联合拉普拉斯变换。
• 通过在时变水平以下的点蚀路径上积分，推导下降时间的拉普拉斯变换。
• 利用补偿公式与拟左连续性处理在下降边界处的跳跃到达。
• 建立 scale 函数导数相关恒等式，以刻画 creeping 与 hitting 时间。
• 将线性下降函数作为特例进行考虑，以恢复并验证已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当退出水平依赖于运行最大值时，如何表达过程在一般下降时间处的联合拉普拉斯变换？
• RQ2 针对随运行最大值演变的下降水平，其 hitting 时间的拉普拉斯变换是什么？
• RQ3 在动态下降水平上，creeping 时间（连续通过）的行为如何？其拉普拉斯变换是什么？
• RQ4 在一般动态情况下，与下降时间相关的潜在测度具有何种结构？
• RQ5 结果能否特化为线性下降函数，以恢复已知公式？

主要发现

• 过程在下降时间处的联合拉普拉斯变换表达为对运行最大值的积分，涉及 scale 函数 $ W^{(q)} $ 及其导数。
• 通过点蚀路径与 scale 函数 $ W^{(q)} $ 推导出动态下降水平 hitting 时间的拉普拉斯变换，关键恒等式涉及 $ W^{(q)ackprime} $ 与 $ W^{(q)} $。
• 对于 creeping 时间，其拉普拉斯变换由导数比 $ W^{(q)ackprime}(x)/W^{(q)}(x) $ 给出，反映了连续通过的概率。
• 通过点蚀局部时间与 scale 函数的积分，推导出与下降时间相关的潜在测度表达式。
• 在线性下降情形下，结果恢复了先前已知的公式，验证了通用框架的有效性。
• 建立了关键分析结果：$ n(e^{-q ho^{\{b-a\}}}; \rho^{\{b-a\}} < \rho^{+}_{b-c}) = \frac{W^{(q)}(b-c)}{W^{(q)}(a-c)} \left( \frac{W^{(q)\prime}(b-a)}{W^{(q)}(b-a)} - \frac{W^{(q)\prime}(b-c)}{W^{(q)}(b-c)} \right) $。