[论文解读] Exotic tilting sheaves, parity sheaves on affine Grassmannians, and the Mirkovic-Vilonen conjecture

Carl Mautner, Simon Riche|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用 25

一句话总结

本文建立了贝兹鲁卡夫尼克夫的奇异 t-结构在 G×Gm-等变凝聚层的导出范畴的中心与 Langlands 对偶群的仿射 Grassmannian 上的 Iwahori-构造性奇偶性层之间的等价性。主要贡献是给出了 Mirković–Vilonen 关于球面奇偶性层的纯度猜想在良好特征下的模形式证明，以及通过‘模形式混合导出范畴’构造将 Arkhipov–Bezrukavnikov–Ginzburg 的工作推广到正特征的新等价关系。

ABSTRACT

Let $\mathbf{G}$ be a connected reductive group over an algebraically closed field $\mathbb{F}$ of good characteristic, satisfying some mild conditions. In this paper we relate tilting objects in the heart of Bezrukavnikov's exotic t-structure on the derived category of equivariant coherent sheaves on the Springer resolution of $\mathbf{G}$, and Iwahori-constructible $\mathbb{F}$-parity sheaves on the affine Grassmannian of the Langlands dual group. As applications we deduce in particular the missing piece for the proof of the Mirkovic-Vilonen conjecture in full generality (i.e. for good characteristic), a modular version of an equivalence of categories due to Arkhipov-Bezrukavnikov-Ginzburg, and an extension of this equivalence.

研究动机与目标

• 建立 G×Gm-等变奇异扭曲层在 Springer 恢复上的范畴与 Langlands 对偶群的仿射 Grassmannian 上奇偶性层的范畴等价。
• 为 Mirković–Vilonen 关于球面奇偶性层在良好特征下纯度的猜想提供一个模形式证明。
• 通过构造‘模形式混合导出范畴’，将 Arkhipov–Bezrukavnikov–Ginzburg 等价关系推广到正特征。
• 将等价关系从 Springer 恢复扩展到 Grothendieck 恢复，建立凝聚层与 Iwahori-等变层之间的联系。

提出的方法

• 在 $D^b\operatorname{Coh}^{\mathbf{G}\times\mathbb{G}_m}(\widetilde{\mathcal{N}})$ 与 $\check{G}$ 的仿射 Grassmannian 上 Iwahori-构造性层的模形式混合导出范畴之间构造范畴等价。
• 使用 Springer 恢复上的奇异 t-结构及其心，其为一个分次的最高权范畴，标准与余标准对象由 $\mathbf{X} \times \mathbb{Z}$ 索引。
• 应用在仿射 Grassmannian 上系数为良好特征域 $\mathbb{F}$ 的奇偶性层理论。
• 利用 $\mathbf{G} \times \mathbb{G}_m$ 在 Springer 恢复上的作用及其对应的分次，定义由 $\mathbf{X} \times \mathbb{Z}$ 参数化的扭曲对象。
• 采用上同调技术，包括等变上同调与混合上同调，通过涉及 $\mathbb{H}^\bullet$ 和 $\Gamma(\widetilde{\mathcal{N}}, \mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(-w_0\mu))_m$ 的同构，关联两个范畴中的 Ext-群。
• 使用张量乘以典范 $\mathbb{G}_m$-模的自同函子 $\langle 1\rangle$ 来在导出范畴中实现分次的平移。

实验结果

研究问题

• RQ1 根据 Mirković–Vilonen 猜想，仿射 Grassmannian 上的球面奇偶性层在良好特征下是否为纯的？
• RQ2 能否通过模形式混合导出范畴构造，将 Arkhipov–Bezrukavnikov–Ginzburg 等价关系推广到正特征？
• RQ3 是否存在 $D^b\operatorname{Coh}^{\mathbf{G}\times\mathbb{G}_m}(\widetilde{\mathcal{N}})$ 与仿射 Grassmannian 上 Iwahori-构造性层的模形式混合导出范畴之间的范畴等价？
• RQ4 该等价关系是否可从 Springer 恢复扩展到 Grothendieck 恢复 $\widetilde{\mathfrak{g}}$？
• RQ5 在 Langlands 对偶下，奇异 t-结构中的扭曲对象如何与奇偶性层相关联？

主要发现

• 本文证明了 $\check{G}$ 的仿射 Grassmannian 上的球面奇偶性层在良好特征下是纯的，从而在一般情形下完成了 Mirković–Vilonen 猜想的证明。
• 构造了 $D^b\operatorname{Coh}^{\mathbf{G}\times\mathbb{G}_m}(\widetilde{\mathcal{N}})$ 与 $\mathcal{G}r$ 上 Iwahori-构造性层的模形式混合导出范畴之间的范畴等价，将 Arkhipov–Bezrukavnikov–Ginzburg 等价关系推广到了正特征。
• 该等价关系进一步扩展为 $D^b\operatorname{Coh}^{\mathbf{G}\times\mathbb{G}_m}(\widetilde{\mathfrak{g}})$ 与 $\mathcal{G}r$ 上 Iwahori-等变层的模形式混合导出范畴之间的等价关系，将原始结果推广到了 Grothendieck 恢复。
• 奇异 t-结构中的扭曲对象 $\mathcal{T}^\lambda$ 对应于 $\mathcal{G}r$ 上的奇偶性层 $\mathcal{E}^\lambda$，其分次平移由 $\mathbb{G}_m$-作用诱导。
• 两个范畴中的 Ext-群同构：$\operatorname{Hom}^{m}(\Delta^\mu_{\widetilde{\mathcal{N}}}, \mathcal{T}^\lambda\langle -m\rangle) \cong \left( \mathsf{T}(\lambda) \otimes \Gamma(\widetilde{\mathcal{N}}, \mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(-w_0\mu)) \right)^\mathbf{G}_m$。
• 证明依赖于一个典范同构：$\operatorname{Hom}^{m}(\Delta^{\mathrm{mix}}_{-\mu}, \mathcal{E}^{\mathrm{mix}}_{-\lambda}\langle -m\rangle) \cong \mathbb{H}^{m - \dim(\mathcal{G}r^\mu)}(\imath_\mu^! \mathcal{E}^\lambda)$，将几何与表示论数据联系起来。