[论文解读] Expanders are order diameter non-hyperbolic

Anton Malyshev|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

该论文证明了在Gromov意义下，弥散图并非双曲的，表明其双曲性常数 δΓ 随直径呈线性增长，即 δΓ = Ω(diam Γ)。该论证通过比较在沿测地线移除一个中心圆柱体时，弥散图与双曲空间之间的距离畸变，证明弥散图的双曲性不可能在直径上呈次线性增长。

ABSTRACT

We show that expander graphs must have Gromov-hyperbolicity at least proportional to their diameter, with a constant of proportionality depending only on the expansion constant and maximal degree. In other words, expanders contain geodesic triangles which are $Ω(\mathop{ m diam} Γ)$-thick.

研究动机与目标

• 解决弥散图族是否可以渐近双曲的问题，即当图的规模增大时，测地三角形是否以高概率变为 δ-瘦三角形。
• 在先前关于弥散图的Gromov双曲性常数下界 O(log |Γ| / log log |Γ|) 的基础上，通过证明更强的 Ω(log |Γ|) 下界，实现改进。
• 利用双曲性与直径的线性依赖关系，证明任何弥散图族都不可能具有树作为渐近锥。
• 展示在 δ-双曲空间中，从一条测地线上移除一个半径为 R 的中心圆柱体，会使路径长度至少增加 exp(Ω(R/δ))，而相比之下，在弥散图中此类移除仅引起常数因子的畸变。

提出的方法

• 在弥散图中选取两点 p 和 q 之间的测地线段，构造一个半径 R ≈ diam(Γ)/3 的中心圆柱体。
• 利用弥散图的强扩张性质保持连通性，证明移除该圆柱体后，距离 d(p,q) 的增长不超过常数因子。
• 相比之下，在 δ-双曲空间中，此类移除会使任意从 p 到 q 的路径长度至少增加 exp(Ω(R/δ)) = exp(Ω(diam(Γ)/δ)) 的因子。
• 若假设 δΓ 在 diam(Γ) 上为次线性，则导出矛盾，从而得出结论：δΓ = Ω(diam(Γ))。
• 利用双曲空间的几何引理，例如：任何避开测地线 δ-邻域的路径必须呈指数级长度。
• 通过归纳法和最近点投影，对 δ-双曲空间中避开中心测地线段的路径长度进行上界估计，证明 ℓ(γ) ≥ δ·2^{R/δ}。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 |Γ| → ∞ 时，是否存在一个固定的 δ，使得弥散图族的测地三角形以趋于 1 的概率变为 δ-瘦三角形？
• RQ2 在以直径表示时，弥散图的Gromov双曲性常数 δΓ 的最佳可能下界是什么？
• RQ3 考虑到其扩张性质和直径，是否存在一个弥散图族，其渐近锥为树？
• RQ4 与球体相比，移除一个中心圆柱体（而非球体）对双曲图与弥散图中距离畸变的影响有何不同？
• RQ5 在 δ-双曲空间中，避开一条测地线段 δ-邻域的路径的最小长度是多少？其长度如何随与线段距离的变化而变化？

主要发现

• 弥散图的Gromov双曲性常数满足 δΓ = Ω(diam(Γ))，即其随直径线性增长。
• 该结果优于先前的 δΓ = Ω(log |Γ| / log log |Γ|) 和 δΓ = Ω(log |Γ|) 的下界，证明了更强的 Ω(diam(Γ)) 下界。
• 该结论意味着任何弥散图族都不可能具有树作为渐近锥，因为树是 0-双曲的，而弥散图并非如此。
• 在 δ-双曲空间中，任何避开长度为 D 的测地线段 R-邻域的路径，其长度至少为 δ·2^{R/δ}，即随 R/δ 呈指数增长。
• 关键几何引理表明：若测地线 pq 上的一点 r 到路径 γ 的距离为 R，则 ℓ(γ) ≥ δ·2^{R/δ}，从而建立了绕行路径长度的指数下界。
• 通过使用圆柱邻域而非球体，避免了早期证明中出现的对数因子，从而对双曲性得出了更紧的下界。