[论文解读] Expansion in simple groups

Emmanuel Breuillard, Alexander Lubotzky|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 64被引用 6

一句话总结

本文综述了有限群与紧致单群中扩张理论的发展，强调了卡兹丹性质(T)在构造膨胀图及解决鲁齐维茨问题中的作用。文章突出展示了谱隙现象的最新进展、量子门导航算法，以及在量子计算应用中利用李群中的算术格实现最优词长近似的方法。

ABSTRACT

Two short seminal papers of Margulis used Kazhdan's property $(T)$ to give, on the one hand, explicit constructions of expander graphs, and to prove, on the other hand, the uniqueness of some invariant means on compact simple Lie groups. These papers opened a rich line of research on expansion and spectral gap phenomena in finite and compact simple groups. In this paper we survey the history of this area and point out a number of problems which are still open.

研究动机与目标

• 综述基于马尔格里斯开创性工作的有限群与紧致单群中扩张现象的发展。
• 通过卡兹丹性质(T)将膨胀图的构造与李群上不变均值的唯一性联系起来。
• 探讨有限单群与紧致李群谱隙理论中的开放问题。
• 研究紧致群中的导航问题，特别是其在量子计算中的应用。
• 研究算术格与布雷厄特-蒂茨建筑物在构建高效词长近似（黄金门）中的作用。

提出的方法

• 利用卡兹丹性质(T)在半单群中格的商的凯莱图中建立谱隙。
• 应用单位表示理论以界定L²(G)上拉普拉斯算子Δ^S的第二特征值，确保统一谱隙。
• 采用索洛瓦-基塔耶夫算法与谱方法，在紧致李群中构造逼近任意群元素的短词。
• 利用PU(n) × PGL_n(K)等乘积中算术格，将稠密子群投影到PU(n)，并利用p进因子实现导航。
• 利用算术群在布雷厄特-蒂茨建筑物（或秩1时的树）上的作用，设计高效的词分解算法。
• 分析G中ε-球的体积增长μ_ε，推导出词长ℓ ≲ log(1/ε)的下界，力求达到最优或近似最优常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个紧致单李群G的有限对称生成集S是否能在凯莱图Cay(G, S)中产生统一谱隙？
• RQ2 使用S中的生成元逼近任意元素g ∈ G所需的最小词长ℓ是多少？能否高效实现？
• RQ3 实群与p进群乘积中的算术格如何同时实现谱隙与PU(n)中的高效导航？
• RQ4 布雷厄特-蒂茨建筑物在将基于树的导航推广至PU(3)等高秩群中起什么作用？
• RQ5 能否通过谱方法改进索洛瓦-基塔耶夫算法，以在量子门合成中实现更短的词长？

主要发现

• 卡兹丹性质(T)确保了格的商的凯莱图中存在统一谱隙，从而可显式构造膨胀图。
• 利用性质(T)，鲁齐维茨问题在S^n（n ≥ 4）上得以解决，表明旋转下唯一不变测度为勒贝格测度。
• 对于PU(2)，罗斯与塞尔林格利用算术群PU₂(ℤ[√2][1/√2])构造了导航问题的解，实现了短词近似。
• 帕尔赞切夫斯基与萨尔纳克通过PU(2) × PGL₂(K)中的算术格将此推广至“黄金门”，并利用布雷厄特-蒂茨树实现导航。
• 埃夫拉与帕尔赞切夫斯基将该框架扩展至PU(3)，利用PU(3) × PGL₃(ℚ_p)中的算术格，通过建筑物结构实现导航。
• 理论界限表明，词长ℓ可低至O(log(1/ε))以实现ε-近似，部分构造已接近最优常数。