[论文解读] Expansive Automorphisms on Locally Compact Groups

Riddh Shah|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2018

advanced mathematical theories参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文证明了：任何具有扩张自同构的连通局部紧群必为幂零群，并通过证明扩张性在模紧致或正规闭子群的商群上可提升，建立了具有扩张自同构的局部紧群的结构定理。此外，本文还证明了：非离散的局部紧群无法拥有既是扩张又为拟正则的自同构。

ABSTRACT

We show that any connected locally compact group which admits an expansive automorphism is nilpotent. We also show that for any locally compact group $G$, $α\in { m Aut}(G)$ is expansive if and only if for any $α$-invariant closed subgroup $H$ which is either compact or normal, the restriction of $α$ to $H$ is expansive and the quotient map on $G/H$ corresponding to $α$ is expansive. We get a structure theorem for locally compact groups admitting expansive automorphisms. We prove that an automorphism on a non-discrete locally compact group can not be both distal and expansive.

研究动机与目标

• 确定扩张自同构对连通局部紧群施加的结构约束。
• 将已知的关于紧致群和完全不连通群中扩张自同构的结果推广至所有局部紧群。
• 通过商群动力学和不变子群，建立扩张性的表征。
• 研究局部紧群自同构中扩张性与拟正则性之间的相互作用。
• 证明非离散局部紧群无法拥有既是扩张又是拟正则的自同构。

提出的方法

• 利用李代数和特征值分析，证明具有扩张自同构的连通局部紧群是幂零的。
• 证明：局部紧群 G 上的自同构 α 是扩张的，当且仅当对每个 α-不变的闭子群 H（若 H 为紧致或正规），α|H 是扩张的，且 G/H 上的诱导映射也是扩张的。
• 利用闭 α-不变子群的降链条件（d.c.c.），刻画扩张系统，特别是在有限维和环面群情形下。
• 在群上构造一个有限的闭正规子群滤链，使得相邻商群同构于 ℝⁿ 或紧致阿贝尔群，且在 α 作用下诱导出的自同构也是扩张的。
• 通过不变子空间和商映射分析 α 在 ℝⁿ 和紧致阿贝尔群上的动力行为，利用扩张性质限制可能的子群。
• 应用关于拟正则自同构及其谱性质（模为 1 的特征值）的已知结果，当与非离散群中的扩张性结合时，导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 扩张自同构的存在对连通局部紧群施加了何种结构限制？
• RQ2 在何种条件下，局部紧群上自同构的扩张性可下推至模紧致或正规闭子群的商群？
• RQ3 非离散局部紧群能否拥有既是扩张又是拟正则的自同构？
• RQ4 如何通过不变子群和商群动力学分解一个具有扩张自同构的局部紧群的结构？
• RQ5 在局部紧群自同构的背景下，降链条件与扩张性质之间存在何种关系？

主要发现

• 任何具有扩张自同构的连通局部紧群必为幂零群。
• 局部紧群 G 上的自同构 α 是扩张的，当且仅当对每个 α-不变的闭子群 H（若 H 为紧致或正规），α|H 是扩张的，且 G/H 上的诱导映射也是扩张的。
• 对任意具有扩张自同构 α 的局部紧群 G，存在一个有限的闭正规子群滤链，使得相邻商群同构于 ℝⁿ 或紧致阿贝尔群，且在这些商群上诱导出的自同构也是扩张的。
• 扩张自同构在紧致连通阿贝尔群上的限制是一个环面系统，且此类系统满足降链条件。
• 非离散局部紧群上的自同构不可能同时是扩张和拟正则的；此类自同构仅在群为离散时才可能存在。
• 在紧致群上具有扩张自同构的情形下，系统满足降链条件，且该自同构共轭于一个李子移位。