[论文解读] Experimental Study of the Shortest Reset Word of Random Automata

Evgeny Skvortsov, Evgeny Tipikin|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2011

semigroups and automata theory参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文提出使用SAT求解器在最多100个状态的随机有限自动机中实验性地确定最短重置词。通过将同步问题转化为一系列SAT实例，作者发现平均最短重置词长度随n^0.55增长，约为1.95n^0.55，表明其相对于状态数呈次线性增长，并支持了随机自动机在n较大时以高概率是同步的假设。

ABSTRACT

In this paper we describe an approach to finding the shortest reset word of a finite synchronizing automaton by using a SAT solver. We use this approach to perform an experimental study of the length of the shortest reset word of a finite synchronizing automaton. The largest automata we considered had 100 states. The results of the experiments allow us to formulate a hypothesis that the length of the shortest reset word of a random finite automaton with $n$ states and 2 input letters with high probability is sublinear with respect to $n$ and can be estimated as $1.95 n^{0.55}.$

研究动机与目标

• 研究具有二元字母表的随机有限自动机中最短重置词的长度。
• 确定最短重置词长度是否随状态数的增加而次线性增长。
• 评估SAT求解器在计算最多100个状态的自动机的精确最短重置词时的有效性。
• 挑战并完善关于随机自动机中重置词期望长度的先前猜想。

提出的方法

• 将最短重置词问题简化为多个3-CNF SAT实例，每个候选词长度c对应一个实例。
• 使用SAT求解器依次检查公式φc_A的可满足性，直到找到第一个可满足的实例为止。
• 通过每个状态、字母和时间步的布尔变量编码状态转移和重置条件。
• 构建一个公式，通过前缀追踪和状态一致性约束，确保所有状态在c步后汇聚到单一状态。
• 对每n值的1000个随机自动机进行统计分析，重点关注最短重置词长度的均值、方差和分布。
• 使用对数-对数回归将均值最短重置词长度拟合为幂律，以估计ℓ(n) ≈ 1.95n^0.55。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机自动机中最短重置词的长度是否随状态数的增加而次线性增长？
• RQ2 在最多100个状态的随机自动机中，最短重置词长度的经验标度行为如何？
• RQ3 随着状态数的增加，随机自动机的同步概率行为如何？
• RQ4 SAT求解器能否有效用于计算非平凡自动机的精确最短重置词？
• RQ5 结果与先前猜想（如Roman的线性估计0.486n）相比如何？

主要发现

• 在随机二元字母表自动机中，最短重置词的平均长度按ℓ(n) ≈ 1.95n^0.55缩放，表明其相对于n呈次线性增长。
• 当n = 100时，200个生成的自动机中仅有1个未能同步，表明随着n增加，同步概率趋近于1。
• 标准差与均值之比√d(n)/r(n)随n增加而趋于零，表明ℓ(n)在大n时紧密聚集在均值附近。
• 基于SAT的方法成功计算了所有测试的最多100个状态的自动机的最短重置词，从而实现了可靠的统计分析。
• 结果与Roman早期的猜想ℓ(n) ≈ 0.486n相矛盾，表明实际增长速率显著更慢，为次线性。
• 尽管为隔离大n行为而排除了n < 20的点，幂律拟合r(n) ≈ 1.95n^0.55在n ≥ 17时仍能很好地拟合数据。