[论文解读] Explicit Constructions of Ramanujan Complexes of Type $ ilde{A}_d$

Alexander Lubotzky, Beth Samuels+1 more|ArXiv.org|Jun 10, 2004

Graph theory and applications参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文针对正特征局部域上的类型 $\tilde{A}_d$（$d \geq 2$）显式构造了拉马努金复形，方法为利用 Cartwright-Steger 算法 $\Gamma$ 在 $\mathrm{PGL}_d(F)$ 中的同余商群，其中 $F = \mathbb{F}_q((y))$。关键结果是显式给出 $\mathrm{PGL}_d(\mathbb{F}_{q^e})$ 的一组生成元，使得由此构造的凯莱复形为被 Bruhat-Tits 建筑覆盖的拉马努金复形。

ABSTRACT

In this paper we present for every $d \geq 2$ and every local field $F$ of positive characteristic, explicit constructions of Ramanujan complexes which are quotients of the Bruhat-Tits building $\B_d(F)$ associated with $\operatorname{PGL}_d(F)$.

研究动机与目标

• 为正特征局部域上类型 $\tilde{A}_d$（$d \geq 2$）的拉马努金复形提供显式、可构造的实现。
• 将拉马努金复形的存在性结果扩展至通过 Cartwright-Steger 算法 $\Gamma$ 的有限商群的显式构造。
• 将有限商群的 $1$-骨架实现为具有显式生成元的有限群的凯莱图。
• 通过函数域上的全局雅克比特-兰道斯对应关系，验证谱性质，从而确立这些复形为拉马努金复形。
• 为在有限局部环与有限域上构造此类复形提供算法框架，包括一个详细示例。

提出的方法

• 以 Cartwright-Steger 算法 $\Gamma$ 为基础，该算法是 $\mathrm{PGL}_d(F)$ 的离散子群，作用于 Bruhat-Tits 建筑 $\mathcal{B}_d(F)$ 的顶点上，实现单纯传递。
• 通过同余子群 $\Gamma(I)$ 构造 $\Gamma$ 的有限商群，其中 $I = \langle p^s \rangle$，$p$ 为 $\mathbb{F}_q[y]$ 中的素元，$s \geq 1$，从而得到有限商群 $\Gamma(I) \backslash \mathcal{B}_d(F)$。
• 通过 $\mathbb{F}_q[x]$ 上的显式 $d \times d$ 矩阵表示，将 $\Gamma$ 显式嵌入 $\mathrm{PGL}_d(L)$，其中 $L = R/I$ 为有限局部环，从而支持算法构造。
• 将凯莱复形定义为单纯复形，其 $1$-骨架为凯莱图 $\mathrm{Cay}(G; S)$，其中 $G = \mathrm{PGL}_d(\mathbb{F}_{q^e})$，$S$ 为对应于 $\mathbb{F}_q^d$ 中维数为 $1$ 至 $d-1$ 的子空间的生成元集合，且 $|S| = \sum_{k=1}^{d-1} \genfrac{[}{]}{0pt}{2}{d}{k}_q$。
• 通过引用 $\mathrm{PGL}_d(F)$-作用的谱理论及函数域上的全局雅克比特-兰道斯对应关系（如文献 [LSV] 所建立），证明所得复形为拉马努金复形。
• 在第 10 节中提供完整算法与示例，说明如何将生成元表示为 $\mathbb{F}_q[x]$ 上的 $d \times d$ 矩阵，并在图 9 中列出显式生成元。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在正特征局部域上，对 $d \geq 2$ 显式构造类型 $\tilde{A}_d$ 的拉马努金复形？
• RQ2 如何利用 Cartwright-Steger 算法 $\Gamma$ 通过同余子群构造出产生拉马努金复形的有限商群？
• RQ3 是否存在 $\mathrm{PGL}_d(\mathbb{F}_{q^e})$ 的显式生成元集合，使得其对应的凯莱复形为拉马努金复形且被 Bruhat-Tits 建筑覆盖？
• RQ4 该构造能否被改进，以得到同构于包含 $\mathrm{PSL}_d(L)$ 的 $\mathrm{PGL}_d(L)$ 子群的有限商群，其中 $L$ 为有限局部环？
• RQ5 计算 $\Gamma$ 在 $\mathbb{F}_q[x]$ 上的显式 $d \times d$ 矩阵生成元的算法过程是什么？

主要发现

• 对每个 $d \geq 2$，$q$ 为素数幂，且 $e \geq 1$（当 $q = 2$ 时要求 $e > 1$），群 $G = \mathrm{PGL}_d(\mathbb{F}_{q^e})$ 拥有一组显式生成元集合 $S$，其大小为 $\sum_{k=1}^{d-1} \genfrac{[}{]}{0pt}{2}{d}{k}_q$，使得 $G$ 关于 $S$ 的凯莱复形为拉马努金复形。
• 该凯莱复形被 $F = \mathbb{F}_q((y))$ 的 Bruhat-Tits 建筑 $\mathcal{B}_d(F)$ 覆盖，其 $1$-骨架为凯莱图 $\mathrm{Cay}(G; S)$，边由生成元定义。
• 生成元显式表示为 $\mathbb{F}_q[x]$ 上的 $d \times d$ 矩阵，且该构造具有算法可实现性，第 10 节提供了完整示例。
• 有限商群 $\Gamma(I) \backslash \mathcal{B}_d(F)$ 同构于包含 $\mathrm{PSL}_d(L)$ 的 $\mathrm{PGL}_d(L)$ 子群的凯莱复形，其中 $L$ 为有限局部环。
• 复形的拉马努金性质通过 $\mathrm{PGL}_d(F)$-作用的谱理论确立，依赖于函数域上的全局雅克比特-兰道斯对应关系，该关系在函数域设定下被假设成立。
• 该构造可推广至每个整除 $d$ 的 $r$-部复形，方法为考虑包含 $\mathrm{PSL}_d(\mathbb{F}_{q^e})$ 的 $\mathrm{PGL}_d(\mathbb{F}_{q^e})$ 的子群，从而将 $d=2$ 情况下已知的 $r$-部图结构推广至复形。