[论文解读] Explicit formulas for p-adic integrals: approach to p-adic distributions and some families of special numbers and polynomials

Yılmaz Şimşek|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2019

Advanced Mathematical Identities参考文献 82被引用 18

一句话总结

本文提出了 p-进积分的新型显式公式，特别是 Volkenborn 积分与费米子 p-进积分，将其与伯努利、欧拉、斯特林、戴希、张熙及中心阶乘数等基本特殊数和多项式联系起来。文章引入了两个新序列 $\mathcal{Y}(n,B)$ 和 $\mathcal{Y}(n,E)$，通过第二类中心阶乘数表达伯努利数与欧拉数，借助 p-进积分计算建立了新的计算恒等式。

ABSTRACT

The main objective of this article is to give and classify new formulas of $p$-adic integrals and blend these formulas with previously well known formulas. Therefore, this article gives briefly the formulas of $p$-adic integrals which were found previously, as well as applying the integral equations to the generating functions and other special functions, giving proofs of the new interesting and novel formulas. The $p$-adic integral formulas provided in this article contain several important well-known families of special numbers and special polynomials such as the Bernoulli numbers and polynomials, the Euler numbers and polynomials, the Stirling numbers, the Lah numbers, the Peters numbers and polynomials, the central factorial numbers, the Daehee numbers and polynomials, the Changhee numbers and polynomials, the Harmonic numbers, the Fubini numbers, combinatorial numbers and sums. In addition, we defined two new sequences containing the Bernoulli numbers and Euler numbers. These two sequences include central factorial numbers, Bernoulli numbers and Euler numbers. Some computation formulas and identities for these sequences are given. Finally we give further remarks, observations and comments related to content of this paper.

研究动机与目标

• 推导并统一 p-进积分的新显式公式，特别是 Volkenborn 与费米子 p-进积分。
• 将这些积分与已知的特殊数与多项式（包括伯努利数、欧拉数、斯特林数、拉h数、彼得斯数、戴希数、张熙数及调和数）联系起来。
• 定义并分析两个新序列 $\mathcal{Y}(n,B)$ 与 $\mathcal{Y}(n,E)$，通过第二类中心阶乘数编码伯努利数与欧拉数。
• 通过 p-进积分计算与生成函数，建立这些序列的计算恒等式。
• 提供一个全面的框架，将 p-进分析与数论及数学物理中的组合函数与特殊函数联系起来。

提出的方法

• 以 Volkenborn 积分 $\int_{\mathbb{Z}_p} f(x) d\mu_1(x)$ 与费米子 p-进积分 $\int_{\mathbb{Z}_p} f(x) d\mu_{-1}(x)$ 为核心工具，推导恒等式。
• 将这些积分应用于生成函数与多项式展开，特别是对单项式 $x^{2n}$ 及乘积如 $x^2(x^2-1)\cdots(x^2-(n-1)^2)$ 的处理。
• 利用第二类中心阶乘数 $T(n,k)$ 将单项式表示为下降阶乘类项的线性组合。
• 通过 $x^j x_{(k)}$ 的积分计算定义序列 $\mathcal{Y}(n,B)$ 与 $\mathcal{Y}(n,E)$，将其与伯努利数与欧拉数联系起来。
• 利用第一类斯特林数 $S_1(n,j)$ 与绝对拉h数 $|L(n,k)|$ 将积分表达式分解为显式求和形式。
• 结合伯努利数与欧拉数的已知恒等式与 p-进积分结果，推导出新的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地应用 Volkenborn 与费米子 p-进积分，推导特殊数与多项式的新恒等式？
• RQ2 中心阶乘数 $T(n,k)$ 在通过 p-进积分表达伯努利数与欧拉数的过程中起什么作用？
• RQ3 能否定义新序列 $\mathcal{Y}(n,B)$ 与 $\mathcal{Y}(n,E)$，使其通过 $T(n,k)$ 与其他数列的线性组合恢复伯努利数与欧拉数？
• RQ4 新序列 $\mathcal{Y}(n,B)$ 与 $\mathcal{Y}(n,E)$ 与戴希数与张熙数等现有序列之间有何关系？
• RQ5 能否通过 p-进积分与组合系数，为 $\mathcal{Y}(n,B)$ 与 $\mathcal{Y}(n,E)$ 推导出显式的计算公式？

主要发现

• 伯努利数满足 $B_{2n} = \sum_{k=0}^{n} T(n,k) \mathcal{Y}(k,B)$，其中 $T(n,k)$ 为第二类中心阶乘数。
• 欧拉数满足 $E_{2n} = \sum_{k=0}^{n} T(n,k) \mathcal{Y}(k,E)$，与伯努利情形形成对称结构。
• 序列 $\mathcal{Y}(n,B)$ 显式表示为 $\sum_{j=0}^{n} \sum_{k=1}^{n} \sum_{m=0}^{k} S_1(n,j) S_1(k,m) B_{j+m} |L(n,k)|$，将其与斯特林数与拉h数联系起来。
• 序列 $\mathcal{Y}(n,E)$ 表示为 $\sum_{j=0}^{n} \sum_{k=1}^{n} \sum_{m=0}^{k} S_1(n,j) S_1(k,m) E_{j+m} |L(n,k)|$，为欧拉数提供了新的计算路径。
• $\mathcal{Y}(n,B)$ 对应戴希数 $D_n$，$\mathcal{Y}(n,E)$ 对应张熙数 $Ch_n$，建立了 p-进积分与这些特殊序列之间的新联系。
• 本文证明 $\mathcal{Y}(n,B)$ 与 $\mathcal{Y}(n,E)$ 可通过单项式与下降阶乘的 p-进积分计算，为伯努利数与欧拉数的计算提供了新方法。