[论文解读] Explicit Plancherel formula for the p-adic group GL(n)

Anne‐Marie Aubert, Roger Plymen|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2003

Advanced Algebra and Geometry被引用 1

一句话总结

本文为p进域上的GL(n)群给出了一个显式的Plancherel公式，通过Bernstein分解实现了Plancherel测度的典范分解。该研究完全确定了L²(GL(n, Q_p))的谱分解，以诱导表示和L函数的形式完整描述了单位酉对偶与Plancherel测度。

ABSTRACT

In this article we provide an explicit Plancherel formula for the p-adic group GL(n). In fact, we achieve more than this. Plancherel measure admits a canonical decomposition, the Bernstein decomposition: we determine

研究动机与目标

• 推导出p进域上GL(n)群的显式Plancherel公式，解决在半单p进群上调和分析中的一个核心问题。
• 通过Bernstein分解建立Plancherel测度的典范分解，阐明单位酉对偶的结构。
• 以诱导表示和L函数的形式确定L²(GL(n, Q_p))的谱分解。
• 完整描述Plancherel测度，包括其归一化与函数方程。
• 通过将Plancherel测度与L函数及标准模联系起来，拓展对p进群表示理论的理解。

提出的方法

• 利用光滑表示范畴的Bernstein分解，对GL(n, Q_p)的不可约单位酉表示进行分类。
• 应用标准模与互换算子理论，构造相关的诱导表示。
• 采用Langlands分类参数化不可约温和表示，并将其延拓至单位酉对偶。
• 通过计算形式度与互换算子的归一化，推导出Plancherel测度。
• 利用标准L函数的函数方程与ε因子，确定Plancherel测度在对偶作用下的行为。
• 应用抛物诱导的Plancherel测度理论，将问题约化至标准系列及其互换算子的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过Bernstein分解显式计算并分解GL(n, Q_p)的Plancherel测度？
• RQ2 在p进GL(n)的背景下，Plancherel测度与L函数之间的确切关系是什么？
• RQ3 在Bernstein-Zelevinsky分类下，GL(n, Q_p)的单位酉对偶如何分解？
• RQ4 L²(GL(n, Q_p))的谱分解如何以诱导表示及其Plancherel测度来表达？
• RQ5 互换算子的归一化因子如何影响Plancherel公式最终形式的构成？

主要发现

• GL(n, Q_p)的Plancherel测度通过Bernstein分解被完全确定，每个分量均以标准模和L函数表达。
• L²(GL(n, Q_p))的谱分解被实现为在温和表示上的直积分，Plancherel测度由标准L函数与ε因子的乘积给出。
• 通过互换算子的归一化与L函数的函数方程，显式计算出不可约单位酉表示的形式度。
• Plancherel测度在Langlands对偶作用下满足函数方程，反映出单位酉对偶的对称性。
• Plancherel测度按Bernstein块的分解是典范的，且与光滑表示范畴的分解一致。
• 最终公式将Plancherel测度表达为局部因子的乘积，每个因子对应一个标准模，并通过Langlands-Shelstad转移进行归一化。