[论文解读] (GL(n+1,R),GL(n,R)) is a Gelfand pair

Avraham Aizenbud, Dmitry Gourevitch+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2007

Advanced Algebra and Geometry被引用 1

一句话总结

本文证明了对于任意局部域 F，对 (GL(n+1,F), GL(n,F)) 是 Gelfand 对，方法是证明 GL(n,F) × GL(n,F)-不变分布于 GL(n+1,F) 上在转置运算下也保持不变。这表明 GL(n+1,F) 的每个不可约光滑表示至多有一个 GL(n,F)-不变向量，这是表示论与调和分析中的关键性质。

ABSTRACT

Let F be an arbitrary local field. Consider the standard embedding of GL(n,F) into GL(n+1,F) and the two-sided action of GL(n,F) imes GL(n,F) on GL(n+1,F). In this paper we show that any GL(n,F) imes GL(n,F)-invariant distribution on GL(n+1,F) is invariant with respect to transposition. We show that this implies that the pair (GL(n+1,F),GL(n,F)) is a Gelfand pair. Namely, for any irreducible admissible representation $(\pi,E)$ of (GL(n+1,F), $$dimHom_{GL(n,F)}(E,\cc) \leq 1.$$ For the proof in the archimedean case we develop several new tools to study invariant distributions on smooth manifolds.

研究动机与目标

• 建立 (GL(n+1,F), GL(n,F)) 是任意局部域 F 下的 Gelfand 对。
• 证明 GL(n,F) × GL(n,F)-不变分布于 GL(n+1,F) 上在转置下保持不变。
• 证明该转置不变性意味着不可约光滑表示上 GL(n,F)-不变泛函的重数为一性质。
• 为分析阿代尔情形下光滑流形上的不变分布开发新工具。

提出的方法

• 通过 GL(n,F) 在 GL(n+1,F) 中的标准嵌入，定义 GL(n,F) × GL(n,F) 在 GL(n+1,F) 上的双边作用。
• 分析 GL(n,F) × GL(n,F)-不变分布于 GL(n+1,F) 上，并证明其在转置自同态下不变。
• 利用转置不变性推导出对 (GL(n+1,F), GL(n,F)) 满足 Gelfand 性质。
• 开发研究光滑流形上不变分布的新技术，尤其适用于阿代尔情形。
• 应用表示论工具，证明对任意 GL(n+1,F) 的不可约光滑表示 (π, E)，有 dim Hom_{GL(n,F)}(E, C) ≤ 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意局部域 F，GL(n,F) × GL(n,F)-不变分布于 GL(n+1,F) 上是否在转置下保持不变？
• RQ2 此类分布的转置不变性是否意味着 (GL(n+1,F), GL(n,F)) 是 Gelfand 对？
• RQ3 是否可通过分布方法建立 GL(n,F)-不变泛函的重数为一性质？
• RQ4 分析阿代尔情形下光滑流形上不变分布需要哪些新工具？

主要发现

• 所有 GL(n,F) × GL(n,F)-不变分布于 GL(n+1,F) 上在转置自同态下保持不变。
• 该转置不变性意味着对 (GL(n+1,F), GL(n,F)) 是 Gelfand 对。
• 对任意 GL(n+1,F) 的不可约光滑表示 (π, E)，其上 GL(n,F)-不变线性泛函空间的维数至多为一。
• 本文为研究光滑流形上的不变分布开发了新分析工具，尤其适用于阿代尔情形。
• 该结果在所有局部域 F 上一致成立，包括非阿代尔与阿代尔情形。