[论文解读] Explicit representations of solutions for linear fractional differential equations with variable coefficients

Joel E. Restrepo, Michael Ruzhansky+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文通过变量系数线性分数阶微分方程的收敛无穷级数分数阶微分-积分算子，提出了显式解析解。关键贡献是将Luchko-Gorenflo公式推广至复分数阶、变系数以及关于函数的分数阶导数，常系数情形的解可用多变量Mittag-Leffler函数表示。

ABSTRACT

Explicit solutions of differential equations of complex fractional orders with continuous variable coefficients are established. The representations of solutions are given in terms of some convergent infinite series of fractional integro-differential operators, which can be widely and efficiently used for analytic and computational purposes. In the case of constant coefficients, the solution can be expressed in terms of the multivariate Mittag-Leffler functions. In particular, the obtained result extends the Luchko-Gorenflo representation formula to a general class of linear fractional differential equations with variable coefficients, to complex fractional derivatives, and to fractional derivatives with respect to a given function.

研究动机与目标

• 为具有变系数的线性分数阶微分方程的解开发显式解析表示。
• 将Luchko-Gorenflo表示公式推广，以包含复分数阶导数和关于给定函数的导数。
• 提供一个适用于此类方程的解析与计算分析的框架。
• 通过收敛的分数阶微分-积分算子无穷级数表达解，以实现广泛适用性。
• 将已知的常系数结果推广至多变量Mittag-Leffler函数框架。

提出的方法

• 通过收敛的分数阶微分-积分算子无穷级数构造解。
• 该方法适用于具有变系数和复分数阶的线性方程。
• 将经典Luchko-Gorenflo公式推广，以包含关于函数的导数。
• 利用算子演算，以结构化且可解析处理的形式表示解。
• 通过无穷级数表示的收敛性分析验证该框架。
• 对于常系数情形，解简化为涉及多变量Mittag-Leffler函数的表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有变系数的线性分数阶微分方程构造显式解？
• RQ2 Luchko-Gorenflo表示公式在多大程度上可推广至复分数阶？
• RQ3 该解框架能否扩展至关于给定函数的分数阶导数？
• RQ4 多变量Mittag-Leffler函数在求解常系数分数阶方程中起什么作用？
• RQ5 分数阶微分-积分算子的无穷级数如何实现收敛性与计算可行性？

主要发现

• 本文通过收敛的分数阶微分-积分算子无穷级数，为具有变系数的线性分数阶微分方程建立了显式解。
• 该解框架将Luchko-Gorenflo公式推广至复分数阶导数和关于函数的导数。
• 对于常系数方程，解以多变量Mittag-Leffler函数表示。
• 该方法为一大类分数阶微分方程提供了统一的解析与计算工具。
• 无穷级数表示是收敛的，确保了数学严谨性与实际适用性。
• 该方法使经典方法无法涵盖范围内的解实现解析处理与数值计算。