[论文解读] Explicit solutions for a series of classical optimization problems with 2-dimensional control via convex trigonometry

A. A. Ardentov, L. V. Lokutsievskiy+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2020

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文利用凸三角学，为一类广泛的二维最优控制问题提供了显式解法，实现了对任意凸紧致控制集 Ω 的统一处理。该方法推导出双曲Finsler几何中的测地线、单模3维李群上的子Finsler测地线、滚动球问题、广义游艇问题以及动态运动问题的闭式解，将多种多样的控制问题统一于单一解析框架之下。

ABSTRACT

We consider a series of optimal control with 2-dimensional control lying in an arbitrary convex compact set $\Omega$. We write explicitly solutions to these by using machinery of convex trigonometry, which allows us to do this uniformly and independently on the shape of $\Omega$. The paper includes (i) geodesics in the Finsler problem on the Lobachevsky hyperbolic plane; (ii) left-invariant sub-Finsler geodesics on all unimodular 3D Lie groups ($\mathrm{SU}(2)$, $\mathrm{SL}(2)$, $\mathrm{SE}(2)$, $\mathrm{SH}(2)$); (iii) the problem of rolling ball on a plane with distance function given by $\Omega$; (iv) a series of yacht problems generalizing Euler's elastic problem, Markov-Dubins problem, Reeds-Shepp problem and a new sub-Riemannian problem on $\mathrm{SE}(2)$; and (v) plane dynamic motion.

研究动机与目标

• 开发一种统一的解析框架，用于求解控制维度为二维且控制集为任意凸紧致集 Ω 的最优控制问题。
• 将凸三角学的应用范围拓展至多种几何与力学控制问题。
• 为双曲平面Finsler几何中的测地线提供显式、闭式解。
• 统一求解所有单模3维李群（如 SU(2)、SL(2)、SE(2) 和 SH(2)）上的左不变子Finsler问题。
• 将经典问题（如Euler的弹性问题、Markov-Dubins问题与Reeds-Shepp问题）推广至更广泛的动态运动与滚动球问题类别。

提出的方法

• 利用凸三角学对任意几何形状的控制集 Ω 实现统一参数化。
• 通过 Ω 的支撑函数与规范函数，定义控制方向与大小的三角学类比量。
• 基于凸三角恒等式，求解庞特里亚金最大值原理，推导出极值轨迹的显式表达式。
• 将哈密顿系统映射至三角函数相空间，使解以凸三角函数形式表达。
• 通过利用群结构与左不变性，将方法应用于特定李群，将问题约化为二维控制问题。
• 通过建模距离函数为 Ω 并利用接触约束的凸三角参数化，构造滚动球问题的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于凸三角学建立一个统一的解析框架，求解具有任意凸控制集的广泛二维最优控制问题？
• RQ2 如何利用凸三角学工具显式参数化单模3维李群上的子Finsler测地线？
• RQ3 在统一的凸三角学框架下，经典问题（如Reeds-Shepp问题与Markov-Dubins问题）的推广程度如何？
• RQ4 能否通过该方法显式求解具有通用凸距离函数 Ω 的滚动球问题？
• RQ5 凸三角学如何实现平面动态运动问题的显式解推导？

主要发现

• 本文利用凸三角学，为Lobachevsky双曲平面上Finsler度量的测地线推导出显式、闭式解。
• 该研究为所有单模3维李群（包括 SU(2)、SL(2)、SE(2) 与 SH(2)）上的左不变子Finsler测地线提供了显式解，且在不同群结构下保持统一性。
• 通过将问题约化为具有凸三角参数化的二维控制问题，显式求解了具有通用凸距离函数 Ω 的滚动球问题。
• 广义游艇问题（包括Euler的弹性问题与Reeds-Shepp问题）在所提框架下被统一并显式求解。
• 该方法通过将轨迹表达为控制集 Ω 的凸三角函数，实现了平面动态运动问题的显式求解。
• 该方法实现了对控制集 Ω 具体形状的独立性与统一性，使单一方法可适用于不同几何与控制约束下的多样化问题。