[论文解读] Explicit Teichmüller curves with complemetary series

Carlos Matheus, Gabriela Weitze-Schmithüsen|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文为 $k \geq 3$ 构造了一个显式的算术Teichmüller曲线族 $\mathcal{C}_{2k}$，其支持 $\SL(2,\mathbb{R})$-不变概率测度 $\mu_{2k}$，并证明了相应的 $L^2$-表示具有补系列，意味着谱间隙可任意小，因此Teichmüller测地流的指数混合速率可任意缓慢。

ABSTRACT

We construct an explicit family of arithmetic Teichmüller curves $\mathcal{C}_{2k}$, $k\in\mathbb{N}$, supporting $ extrm{SL}(2,\mathbb{R})$-invariant probabilities $μ_{2k}$ such that the associated $ extrm{SL}(2,\mathbb{R})$-representation on $L^2(\mathcal{C}_{2k}, μ_{2k})$ has complementary series for every $k\geq 3$. Actually, the size of the spectral gap along this family goes to zero. In particular, the Teichmüller geodesic flow restricted to these explicit arithmetic Teichmüller curves $\mathcal{C}_{2k}$ has arbitrarily slow rate of exponential mixing.

研究动机与目标

• 为 $k \geq 3$ 构造显式的算术Teichmüller曲线 $\mathcal{C}_{2k}$，并配备 $\SL(2,\mathbb{R})$-不变测度 $\mu_{2k}$。
• 证明 $L^2(\mathcal{C}_{2k}, \mu_{2k})$ 上的 $\SL(2,\mathbb{R})$-表示容许补系列。
• 证明该表示的谱间隙随 $k$ 增大而趋于零，意味着混合速率可任意缓慢。
• 提供一个具体、显式的例子族，其中谱间隙消失，与一般情形下预期的均匀谱间隙形成对比。

提出的方法

• 通过显式粘合规则与群作用，构造对应于算术Teichmüller曲线 $\mathcal{C}_{2k}$ 的正方形拼接曲面（origamis）族。
• 利用模空间 $\mathcal{H}_g$ 上的 $\SL(2,\mathbb{R})$-作用，在 $\mathcal{C}_{2k}$ 上定义 $\SL(2,\mathbb{R})$-不变概率测度 $\mu_{2k}$。
• 应用Ratner关于混合速率与谱间隙的理论，将Teichmüller流的指数混合速率与 $L^2$-表示的谱间隙联系起来。
• 利用Ellenberg-McReynolds对 $\Gamma_2$ 的有限指数子群 $\Gamma_2(N)$ 的构造，将 $\mathbb{H}/\Gamma_2(N)$ 实现为算术Teichmüller曲线。
• 利用Ratner工作的显式常数估计谱间隙，证明间隙以 $\lesssim \ln(N)/N$ 的速率衰减。
• 基于Ratner估计导出的显式界，证明当 $N \geq 170$ 时补系列出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造显式的算术Teichmüller曲线，使得其关联的 $\SL(2,\mathbb{R})$-表示在 $L^2$ 上容许补系列？
• RQ2 当 $k \to \infty$ 时，$L^2(\mathcal{C}_{2k}, \mu_{2k})$ 上的 $\SL(2,\mathbb{R})$-表示的谱间隙是否趋于零？
• RQ3 此类曲线族中谱间隙的衰减速率如何？
• RQ4 Teichmüller测地流的缓慢混合行为能否在算术Teichmüller曲线上显式实现？
• RQ5 为确保表示中出现补系列，$N$ 的显式下界是多少？

主要发现

• 作者为所有 $k \geq 3$ 构造了一个显式的算术Teichmüller曲线族 $\mathcal{C}_{2k}$。
• 对每个 $k \geq 3$，$L^2(\mathcal{C}_{2k}, \mu_{2k})$ 上的 $\SL(2,\mathbb{R})$-表示均包含补系列。
• 随着 $k$ 增大，该族 $\mathcal{C}_{2k}$ 上的谱间隙趋于零。
• 谱间隙的衰减速率受 $\lesssim \ln(N)/N$ 控制，其中 $N$ 参数化该族。
• 基于Ratner工作的显式常数，证明当 $N \geq 170$ 时补系列出现。
• 由于谱间隙消失，$\mathcal{C}_{2k}$ 上的Teichmüller测地流具有任意缓慢的指数混合速率。