[论文解读] Stable maps and singular curves on K3 surfaces

Michael Kemeny|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 96被引用 3

一句话总结

本文利用稳定映射与形变理论研究K3曲面上的奇异曲线，聚焦于从光滑曲线到K3曲面的非分歧态射。研究证明，从此类映射的栈到曲线模空间的模映射在大多数情况下相对于其像为一般有限，从而为Brill–Noether理论提供了新框架，并推进了具有辛对合的K3曲面上的 Chow 群与高斯映射的应用。

ABSTRACT

In this thesis we study singular curves on K3 surfaces. Let $\mathcal{B}_g$ denote the stack of polarised K3 surfaces of genus $g$ and set $p(g,k)=k^2(g-1)+1$. There is a stack $ \mathcal{T}^n_{g,k} o \mathcal{B}_g$ with fibre over the polarised surface $(X,L)$ parametrising all unramified morphisms $f: C o X$, birational onto their image, with $C$ an integral smooth curve of genus $ p(g,k)-n$ and $f_*C \sim kL$. One can think of $ \mathcal{T}^n_{g,k}$ as parametrising all singular curves on K3 surfaces such that the normalisation map is unramified (or equivalently such that the curve has "immersed" singularities). The stack $ \mathcal{T}^n_{g,k}$ comes with a natural moduli map $$η\; : \;\mathcal{T}^n_{g,k} o \mathcal{M}_{p(g,k)-n}$$ to the Deligne-Mumford stack of curves, defined by forgetting the map to the K3 surface. We first show that $η$ is generically finite (to its image) on at least one component of $\mathcal{T}^n_{g,k} $, in all but finitely many values of $p(g,k)-n$. We also consider related questions about the Brill-Noether theory of singular curves on K3 surfaces as well as the surjectivity of twisted Gaussian maps on normalisations of singular curves. Lastly, we apply the deformation theory of $\mathcal{T}^n_{g,k}$ to a seemingly unrelated problem, namely the Bloch-Beilinson conjectures on the Chow group of points of K3 surfaces with a symplectic involution.

研究动机与目标

• 通过稳定映射为研究K3曲面上的奇异曲线建立新的模理论框架。
• 分析从稳定映射到曲线模空间的模映射的几何结构。
• 研究位于K3曲面上的节点型与奇异曲线的Brill–Noether理论。
• 将稳定映射的形变理论应用于具有辛对合的K3曲面的Bloch–Beilinson猜想。
• 理解K3曲面上奇异曲线的正规化上的扭曲高斯映射的满射性。

提出的方法

• 构造栈 $\mathcal{T}^{n}_{g,k}$，参数化从亏格为 $p(g,k)-n$ 的光滑曲线到极化K3曲面（亏格为 $g$）的非分歧、双有理态射。
• 定义自然的模映射 $\eta: \mathcal{T}^{n}_{g,k} \to \mathcal{M}_{p(g,k)-n}$，将每个稳定映射发送到其像曲线的正规化。
• 应用形变理论分析 $\eta$ 的纤维维数，在特定条件下证明其一般有限性。
• 通过Brill–Noether参数 $\rho(g,r,d)$ 的归纳法，利用求值态射分析线丛的无基点部分。
• 利用半稳定约化与挠自由层的平坦族控制退化与纤维维数。
• 依赖 $\overline{W}^r_d(C)$ 的普遍性质，并在光滑部分识别有效线丛的模空间以界定纤维维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mathcal{T}^{n}_{g,k}$ 的至少一个分支，模映射 $\eta: \mathcal{T}^{n}_{g,k} \to \mathcal{M}_{p(g,k)-n}$ 是否相对于其像为一般有限？
• RQ2 K3曲面上奇异曲线的Brill–Noether理论，特别是节点型模型，是怎样的？
• RQ3 在何种条件下，K3曲面上奇异曲线的正规化上的扭曲高斯映射是满射的？
• RQ4 如何将稳定映射的形变理论应用于具有辛对合的K3曲面的Bloch–Beilinson猜想？
• RQ5 是否可以不退化为有理曲面的并集来研究K3曲面上奇异曲线的几何结构？

主要发现

• 对于除有限多个 $g$ 与 $k$ 外的所有情况，模映射 $\eta: \mathcal{T}^{n}_{g,k} \to \mathcal{M}_{p(g,k)-n}$ 在至少一个分支上相对于其像为一般有限。
• 一般有限性的证明依赖于通过将求值映射的余核分解为曲线的光滑部分与奇异部分来控制纤维维数。
• 对于 $|L|$ 中任意整型且节点型的曲线 $C$，当 $\rho(g,r,d) < 0$ 时，Brill–Noether定理成立，且该结果通过所建立的框架可推广至此类曲线。
• 映射 $f: I^0 \to \overline{W}^{r'}_{d'}(C)$ 的纤维维数受 $d - d'$ 限制，当 $r > 0$ 时可确保 $\dim(I) < \rho(g,r,d)$。
• 通过在度数为 $d - d' - e$ 的线丛上进行扭量构造映射 $g: I^0 \to \overline{W}^{r'}_{d-e}(C)$，可利用光滑部分的对称积维数来控制纤维维数。
• 这些结果在稳定映射理论与代数几何中的经典问题之间建立了桥梁，包括具有Nikulin对合的K3曲面的Bloch–Beilinson猜想。