[论文解读] Exploring $2d$ localization with a step dependent coin

Kallol Sen|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2023

Quantum chaos and dynamical systems被引用 4

一句话总结

本论文在二维量子行走中引入了一种与步数相关的量子比特操作算符，诱导出强局域化现象，通过概率分布和熵度量得到验证。关键结果表明，特定参数选择（例如，θ = π/(4j)）可导致局域化长度为零的完全局域化，该结果通过香农熵为零、纠缠振荡以及与微扰预测相符的转移矩阵分析得到证实。

ABSTRACT

We generalize the coin operator of \cite{Zahed_2023}, to include a step dependent feature which induces localization in $2d$. This is evident from the probability distributions which can be further used to categorize the localized walks. Localization is also evident from the entropic measures. We compute and compare three distinct measures (a) Shannon Entropy in the position and coin space, (b) Entanglement entropy between position and spin space, and (c) Quantum Relative Entropy which is a POVM of density operators of the step dependent and step independent coins. Shannon Entropy and Entanglement Entropy are periodic and bounded functions of the time steps. The zeros of Shannon and Entanglement entropies signify a complete localization of the wave-function. The Quantum Relative Entropy and Quantum Information Variance exhibit a similar periodic feature with a zero minima where the step dependent and step independent walks coincide. Finally, we compute the numerical localization length (inverse of the Lyapunov Exponent) for the step dependent coin as a function of energy and compare with an approximate perturbative computation, where we put the step dependent coin as a perturbation in the background of a step independent coin. In both the instances, we find that the localization length peaks at approximately the same positions in the momentum space.

研究动机与目标

• 将二维量子行走中的量子比特操作算符推广为包含与步数相关特征的形式，以诱导波函数局域化。
• 分析与步数相关的量子比特操作算符对二维量子行走中概率分布和纠缠动力学的影响。
• 利用多种熵度量（香农熵、纠缠熵和量子相对熵）表征局域化特性，并比较与步数相关和与步数无关的行走行为。
• 通过转移矩阵方法计算局域化长度，并与微扰近似结果进行比较。
• 通过调节量子比特参数，探索从紧凑态、半经典态到完全局域化态的相变行为。

提出的方法

• 与步数相关的量子比特操作算符被定义为一个随时间演化的时间依赖 SU(4) 矩阵，其参数为 θ₁、θ₂ 和 φ，引入与步数 t 相关的相位和振幅调制。
• 针对不同 θ 值（例如，π/(4j)、π/(4j−1)）数值计算概率分布，以可视化局域化与扩展行为。
• 作为动力学可观测量，计算位置空间与量子比特空间中的香农熵、位置与量子比特之间的纠缠熵，以及与步数相关（SDC）和与步数无关（SIC）行走之间的量子相对熵。
• 应用转移矩阵方法计算李雅普诺夫指数，从而获得局域化长度（李雅普诺夫指数的倒数）以分析 SDC 行走。
• 采用微扰近似方法，将与步数相关的量子比特操作算符视为在与步数无关的背景上的一种微扰，从而实现与数值结果的解析比较。
• 利用量子相对熵和量子信息方差量化每个时间步上 SDC 与 SIC 行走之间的可区分性。

实验结果

研究问题

• RQ1 与步数无关的量子比特操作算符相比，与步数相关的量子比特操作算符在二维量子行走中如何诱导局域化？
• RQ2 熵度量（香农熵、纠缠熵、量子相对熵）在诊断局域化以及区分 SDC 与 SIC 行走中起到何种作用？
• RQ3 局域化长度在动量空间中的峰值出现在何处？与数值计算结果相比如何？
• RQ4 在何种参数区域（例如，θ = π/(4j) 与 θ = π/(4j−1)）下，行走行为会从扩展转变为完全局域化？
• RQ5 转移矩阵的结构如何与具有非平凡跃迁项的有效安德森哈密顿量相关联？

主要发现

• 当 θ = π/(4j) 时，概率分布完全局域于原点，非零概率点的数量有限且周期性变化，表明完全局域化。
• 香农熵与纠缠熵在零与上界之间振荡，其零值表示完全局域化与可分态。
• 量子相对熵与量子信息方差表现出周期性行为，其最小值为零，此时 SDC 与 SIC 行走完全重合；最大值表示最大可区分性。
• 通过转移矩阵方法计算的局域化长度在 θ = π/(4j) 时为零，与完全局域化一致；在 θ = π/(4j−1) 时，局域化长度在 ω ≈ ±π/2 处出现峰值。
• 局域化长度的微扰计算结果与数值结果一致，峰值在动量空间中的位置相同。
• 当 θ = π/(4j) 时，D(ρ||σ) > V(ρ||σ) 且随 θ 减小而单调递增；而当 θ = π/(4j−1) 时，二者关系相反，表明存在截然不同的动力学行为。