[论文解读] Exponential Convergence in $L^p$-Wasserstein Distance for Diffusion Processes without Uniformly Dissipative Drift

Dejun Luo, Jian Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用 6

一句话总结

本论文通过反射耦合与无穷远处的凸辅助函数，建立了非一致耗散漂移扩散过程在 $L^p$-Wasserstein 距离下的指数收敛性。关键结果表明，对于满足分段耗散条件的漂移，半群以速率 $e^{-\lambda t/p}$ 指数快速收敛，优于以往仅限于 $L^1$-Wasserstein 距离的研究结果。

ABSTRACT

By adopting the coupling by reflection and choosing an auxiliary function which is convex near infinity, we establish the exponential convergence of diffusion semigroups $(P_t)_{t\ge0}$ with respect to the standard $L^p$-Wasserstein distance for all $p\in[1,\infty)$. In particular, we show that for the Itô stochastic differential equation $$\d X_t=\d B_t+b(X_t)\,\d t,$$ if the drift term $b$ satisfies that for any $x,y\in\R^d$, $$\langle b(x)-b(y),x-y angle\le \begin{cases} K_1|x-y|^2,& |x-y|\le L; -K_2|x-y|^2,& |x-y|> L \end{cases}$$ holds with some positive constants $K_1$, $K_2$ and $L>0$, then there is a constant $λ:=λ(K_1,K_2,L)>0$ such that for all $p\in[1,\infty)$, $t>0$ and $x,y\in\R^d$, $$W_p(δ_x P_t,δ_y P_t)\leq Ce^{-λt/p} \begin{cases} |x-y|^{1/p}, & \mbox{if } |x-y|\le 1; |x-y|, & \mbox{if } |x-y|> 1. \end{cases}$$ where $C:=C(K_1,K_2,L,p)$ is a positive constant. This improves the main result in \cite{Eberle} where the exponential convergence is only proved for the $L^1$-Wasserstein distance.

研究动机与目标

• 建立当漂移不一致耗散时，扩散半群在 $L^p$-Wasserstein 距离下的指数收敛性。
• 将以往仅限于 $L^1$-Wasserstein 距离的结果推广至所有 $p \in [1, \infty)$。
• 提出一种基于反射耦合与凸辅助函数的框架，以处理非一致耗散性。
• 根据漂移的局部与全局耗散行为，刻画收敛速率。
• 在推导出的收敛条件下，证明不变测度的存在性与唯一性。

提出的方法

• 通过反射耦合构造一个随时间收缩的耦合过程。
• 引入一个在无穷远处为凸的辅助函数，以控制漂移在大偏差下的行为。
• 利用耦合方法，对转移核 $\delta_x P_t$ 与 $\delta_y P_t$ 之间的 $L^p$-Wasserstein 距离进行上界估计。
• 利用 Itô 公式与耦合过程的生成元，推导出 Wasserstein 距离的微分不等式。
• 结合辅助函数应用 Lyapunov 类型论证，建立指数衰减。
• 利用 $W_p$ 中的收缩性质，推导出遍历性与不变测度的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非一致耗散漂移的扩散过程建立 $L^p$-Wasserstein 距离下的指数收敛性？
• RQ2 漂移 $b$ 需满足何种条件，可确保对所有 $p \in [1, \infty)$ 实现指数 $L^p$-Wasserstein 收敛？
• RQ3 反射耦合方法如何超越一致耗散漂移，实现此类收敛？
• RQ4 收敛速率能否以漂移的局部与全局耗散常数来量化？
• RQ5 $L^p$-Wasserstein 收敛与不变测度的存在性之间有何关系？

主要发现

• 对于 SDE $\mathrm{d}X_t = \mathrm{d}B_t + b(X_t)\,\mathrm{d}t$，若漂移满足具有常数 $K_1, K_2, L > 0$ 的分段耗散条件，则对所有 $p \in [1, \infty)$，$L^p$-Wasserstein 距离下均存在指数收敛性。
• 收敛速率为 $W_p(\delta_x P_t, \delta_y P_t) \leq C e^{-\lambda t/p} \cdot \begin{cases} |x-y|^{1/p}, & |x-y| \leq 1 \\ |x-y|, & |x-y| > 1 \end{cases}$，其中 $\lambda = \lambda(K_1, K_2, L) > 0$。
• 常数 $C$ 依赖于 $K_1, K_2, L$ 与 $p$，且对所有 $p \in [1, \infty)$ 有限。
• 该结果优于以往工作，将指数收敛从 $L^1$ 扩展至所有 $L^p$-Wasserstein 距离。
• 通过 $W_1$ 中的收缩性质，建立了不变概率测度 $\mu$ 的存在性与唯一性。
• 所推导的收敛性蕴含了不变测度的 Poincaré 不等式，证实了谱间隙性质。