[论文解读] Exponential Martingales and Time integrals of Brownian Motion

Victor Goodman, Kyounghee Kim|ArXiv.org|Dec 1, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过基于 Girsanov 定理的新型测度变换技术，推导出指数几何布朗运动时间积分的概率密度函数及下尾行为的精确表达式。主要贡献在于证明了 $\mathbb{E}\left[\exp\left(\theta / \int_0^t \exp(B_s)\,ds\right)\right]$ 有限当且仅当 $\theta < 2$，解决了长期存在的矩问题，并由此推导出一种新的亚式期权定价公式。

ABSTRACT

We find a simple expression for the probability density of $\int \exp (B_s - s/2) ds$ in terms of its distribution function and the distribution function for the time integral of $\exp (B_s + s/2)$. The relation is obtained with a change of measure argument where expectations over events determined by the time integral are replaced by expectations over the entire probability space. We develop precise information concerning the lower tail probabilities for these random variables as well as for time integrals of geometric Brownian motion with arbitrary constant drift. In particular, $E[ \exp\big(θ/ \int \exp (B_s)ds\big) ]$ is finite iff $θ&lt; 2$. We present a new formula for the price of an Asian call option.

研究动机与目标

• 推导 $A_t = \int_0^t \exp(B_s - s/2)\,ds$ 的精确分布性质，即指数鞅的时间积分。
• 解决形如 $\mathbb{E}\left[\exp\left(\theta / \int_0^t \exp(B_s)\,ds\right)\right]$ 的矩的有限性问题，其中 $\theta$ 为一般值。
• 利用推导出的分布关系，建立一种新的亚式看涨期权定价公式。
• 为 $A_t$ 及其具有任意漂移的类似时间积分，建立精确的下尾估计。

提出的方法

• 应用一种基于时间改变的布朗运动 $\tilde{B}_t = B_t - 2\log(1 - \frac{y}{2}A_t)$ 的 Girsanov 类型测度变换，有效范围至爆炸时间 $\tau_\infty$。
• 过程 $R_t = -\frac{M_t}{y^{-1} - \frac{1}{2}A_t}$ 满足扩散方程 $dR_t = R_t dB_t - \frac{1}{2}R_t^2 dt$，从而支持鞅分析。
• 引入停时 $\tau_n$ 以处理 $\tau_\infty$ 处的奇异性，确保在 $[0, \tau_n]$ 上 Girsanov 密度保持为鞅。
• 在新测度 $Q$ 下，将涉及 $A_t$ 的泛函期望进行变换，从而实现密度和尾部概率的计算。
• 通过与 $\int_0^t \exp(B_s + s/2)\,ds$ 的分布进行比较，推导出关键恒等式：$\mathbb{E}\left[\exp\left(\frac{\theta}{\int_0^t \exp(B_s)\,ds}\right)\right] < \infty$ 当且仅当 $\theta = 2$。
• 通过将 $\mathbb{E}[(A_t - a)^+}$ 表示为涉及 $M_t$ 和 $A_t$ 的期望，推导出新的亚式看涨期权定价公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $\theta$ 值，$\mathbb{E}\left[\exp\left(\theta / \int_0^t \exp(B_s)\,ds\right)\right]$ 是有限的？
• RQ2 如何精确刻画 $\int_0^t \exp(B_s - s/2)\,ds$ 与 $\int_0^t \exp(B_s + s/2)\,ds$ 的分布之间的关系？
• RQ3 能否利用几何布朗运动的时间积分，推导出亚式看涨期权价格的新闭式表达式？
• RQ4 如何为 $A_t = \int_0^t \exp(B_s - s/2)\,ds$ 的分布建立精确的下尾估计？

主要发现

• 期望 $\mathbb{E}\left[\exp\left(\theta / \int_0^t \exp(B_s)\,ds\right)\right]$ 有限当且仅当 $\theta < 2$。
• $A_t = \int_0^t \exp(B_s - s/2)\,ds$ 的分布具有精确密度，可表示为其累积分布函数与 $\int_0^t \exp(B_s + s/2)\,ds$ 的累积分布函数之间的关系。
• $A_t$ 的下尾衰减速度快于任意多项式，通过测度变换技术推导出精确估计。
• 推导出新的亚式看涨期权定价公式：$\mathbb{E}[(A_t - a)^+] = t - a + a^2 \mathbb{E}\left[(a + A_t)^{-1} \exp\left(\frac{2M_t}{a + A_t} - \frac{2}{a}\right)\right]$。
• $\frac{M_t}{A_t}$ 的矩生成函数被证明为上鞅，且在 $\theta < 2$ 时具有可积性。
• 该结果可推广至任意漂移与扩散系数：对于 $\sigma^2 \int_0^t \exp(\sigma B_s)\,ds$，经适当时间缩放后，相同的有限性条件 $\theta < 2$ 依然成立。