[论文解读] Exponential quantum speed-ups are generic

Fernando G. S. L. Brandão, Michał Horodecki|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 54被引用 19

一句话总结

本文证明了指数级量子加速是普遍存在的：几乎所有长度足够的量子线路都能使一个黑箱问题以恒定数量的量子查询被解决，而经典计算——即使允许后选择——也需要指数更多的查询。该结果依赖于证明随机线性大小的量子线路构成一个近似酉3-设计，从而通过Aaronson的构造实现指数级的量子-经典查询复杂度差距。

ABSTRACT

A central problem in quantum computation is to understand which quantum circuits are useful for exponential speed-ups over classical computation. We address this question in the setting of query complexity and show that for almost any sufficiently long quantum circuit one can construct a black-box problem which is solved by the circuit with a constant number of quantum queries, but which requires exponentially many classical queries, even if the classical machine has the ability to postselect. We prove the result in two steps. In the first, we show that almost any element of an approximate unitary 3-design is useful to solve a certain black-box problem efficiently. The problem is based on a recent oracle construction of Aaronson and gives an exponential separation between quantum and classical post-selected bounded-error query complexities. In the second step, which may be of independent interest, we prove that linear-sized random quantum circuits give an approximate unitary 3-design. The key ingredient in the proof is a technique from quantum many-body theory to lower bound the spectral gap of local quantum Hamiltonians.

研究动机与目标

• 确定在何种条件下量子线路能在查询复杂度模型中为经典计算提供指数级加速。
• 研究此类加速对于典型量子线路而言是罕见还是普遍存在的。
• 建立随机量子线路与近似酉t-设计之间的联系，作为实现指数级加速的途径。
• 证明线性大小的随机量子线路可生成近似酉3-设计，从而构造出困难的黑箱问题。

提出的方法

• 利用Aaronson近期提出的预言机构造，定义一个在有界误差查询复杂度下具有指数级量子-经典差距的黑箱问题。
• 证明近似酉3-设计中的任意元素均可通过恒定数量的量子查询高效解决该黑箱问题。
• 利用量子多体理论中的技术，证明线性大小的随机量子线路构成近似酉3-设计。
• 通过界定局部量子哈密顿量的谱隙，建立随机线路收敛到近似3-设计的性质。
• 利用谱隙的下界证明典型随机线路实现了实现指数加速所必需的设计特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于随机量子线路而言，指数级量子加速是罕见的还是普遍的？
• RQ2 几乎所有足够长的量子线路是否都能用于以恒定数量的量子查询解决一个黑箱问题？
• RQ3 随机量子线路与近似酉t-设计之间存在何种关系？
• RQ4 对于可通过恒定数量量子查询解决的问题，后选择能力是否能显著减小经典查询复杂度的差距？
• RQ5 能否利用局部哈密顿量的谱隙分析来证明随机量子线路收敛到酉设计？

主要发现

• 几乎所有足够长的量子线路都能为特定黑箱问题提供指数级量子加速。
• 近似酉3-设计中的任意元素均可通过恒定数量的量子查询解决该黑箱问题。
• 线性大小的随机量子线路构成近似酉3-设计，确立了此类线路的普遍性。
• 即使经典机器被允许后选择，同一问题的经典查询复杂度仍保持指数级。
• 通过量子多体理论中的技术界定了局部量子哈密顿量的谱隙，从而证明了3-设计的性质。
• 结果表明，指数级加速并非局限于专门设计的线路，而是随机、通用量子线路的典型特征。