[论文解读] Exponential Separation of Quantum and Classical One-Way Communication Complexity for a Boolean Function

Dmitry Gavinsky, Julia Kempe+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文為一個布尔函数建立了量子与经典单向通信复杂度之间的指数级分离，表明量子协议仅需 $(\log n)^{3/2}$ 量子比特即可解决该问题，而任何经典单向协议则需要 $\sqrt{n}(\log n)^{1/4}$ 比特。该结果突显了量子通信的根本优势，并对有界存储密码学模型具有影响，即即使存储容量相似，量子存储仍会破坏密钥安全性。

ABSTRACT

We give an exponential separation between one-way quantum and classical communication complexity for a Boolean function. Earlier such a separation was known only for a relation. A very similar result was obtained earlier but independently by Kerenidis and Raz [KR06]. Our version of the result gives an example in the bounded storage model of cryptography, where the key is secure if the adversary has a certain amount of classical storage, but is completely insecure if he has a similar amount of quantum storage.

研究动机与目标

• 为一个布尔函数建立量子与经典单向通信复杂度之间的无条件指数级分离，解决先前关于关系问题研究遗留的开放问题。
• 证明在单向模型中，对于一个全布尔函数，量子通信可实现比经典通信指数级更优的效率。
• 表明在有界存储密码学模型中，量子优势依然存在，即量子攻击者可仅用极少的量子存储空间破坏安全性。
• 提出一种基于塔拉格兰德不等式和鞅集中不等式的新型证明技术，与并行工作中使用的傅里叶分析方法不同。
• 通过证明零误差量子协议可超越有界误差经典协议，深化对通信复杂度中量子优势的理解。

提出的方法

• 该协议使用大小为 \/(\log n)^{3/2} 量子比特的量子消息来计算一个布尔函数，利用量子叠加和干涉高效编码并处理与输入相关的资讯。
• 经典下界通过输出分布的概率分析建立，表明短的经典消息无法以高概率近似所需输出。
• 关键组成部分是将输入索引随机划分为若干块，协议的成功依赖于某些加权系数和的集中性。
• 证明应用了塔拉格兰德不等式和麦迪亚姆德的鞅偏差界，以控制经典协议下输出分布偏离均匀性的程度。
• 分析表明，若爱丽丝的消息过短，鲍勃将无法获得关于一个推导出的字符串 $ z $ 的足够信息，而该信息对正确计算函数至关重要。
• 通过有界实际输出分布与均匀分布之间的总变差距离，推导出结果，证明只要消息长度不足，该距离将保持远离零。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在全布尔函数而非仅关系问题上实现量子与经典单向通信复杂度之间的指数级分离？
• RQ2 解决一个需要 $\sqrt{n}(\log n)^{1/4}$ 经典比特的布尔函数，其最小量子通信成本是多少？
• RQ3 通信复杂度中的量子优势如何与有界存储密码学模型中密码协议的安全性相关联？
• RQ4 零误差量子协议能否在单向通信中实现对有界误差经典协议的指数级优势？
• RQ5 在密钥生成和信息论安全性背景下，量子存储为何比经典存储更具优势？

主要发现

• 本文建立了量子通信复杂度为 $(\log n)^{3/2}$ 量子比特，经典单向通信复杂度为 $\sqrt{n}(\log n)^{1/4}$ 比特的指数级分离。
• 量子协议实现了零误差计算，而经典下界即使在有界误差协议下依然成立，表明分离程度更强。
• 该结果意味着在有界存储模型中，从共享字符串派生的密钥对经典存储少于 $\sqrt{n}$ 的攻击者是安全的，但对仅拥有 $\sqrt{n}$ 量子存储的量子攻击者则不安全。
• 证明技术依赖于塔拉格兰德不等式和麦迪亚姆德的鞅界，为并行工作中使用的傅里叶分析方法提供了新颖的替代方案。
• 当经典消息长度为 $c = \delta \sqrt{n}(\ln n)^{1/4}$ 时，输出分布与均匀性的总变差距离被有界为 $1/10$，从而证明了下界。
• 该结果可被调整，以在同时消息传递模型中，为一个布尔函数展示共享纠缠的经典通信与共享随机性的经典通信之间的分离。