[论文解读] Exponential unitary divisors

László Tóth, Nicuşor Minculete|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文引入并研究了指数酉除数——即在数的质因数分解中，对指数取酉除数所形成的除数。定义了指数酉完全数，并证明了不存在奇数的此类完全数。本文建立了相关算术函数的渐近公式，表明其行为与指数除数函数极为相似，填补了算术函数卷积研究中的空白。

ABSTRACT

We say that $d$ is an exponential unitary divisor of $n=p_1^{a_1}... p_r^{a_r}>1$ if $d=p_1^{b_1}... p_r^{b_r}$, where $b_i$ is a unitary divisor of $a_i$, i.e., $b_i\mid a_i$ and $(b_i,a_i/b_i)=1$ for every $i\in \{1,2,...,r\}$. We survey properties of related arithmetical functions and introduce the notion of exponential unitary perfect numbers.

研究动机与目标

• 定义并研究指数酉除数，结合指数与酉除数的概念。
• 引入并分析指数酉完全数这一新数类，其与酉完全数和指数完全数类似。
• 填补文献空白，研究此前未在算术函数背景下探讨过的指数酉卷积。
• 推导与指数酉除数相关的数量、和以及欧拉型函数的渐近公式。
• 解决关于非平方自由及3-自由指数酉完全数存在的开放问题。

提出的方法

• 将 n = p₁^a₁⋯pᵣ^aᵣ 的指数酉除数 d 定义为 d = p₁^b₁⋯pᵣ^bᵣ，其中每个 bᵢ 是 aᵢ 的酉除数（即 bᵢ | aᵢ 且 gcd(bᵢ, aᵢ/bᵢ) = 1）。
• 引入函数 τ^(e*)（指数酉除数的个数）、σ^(e*)（指数酉除数的和）、μ^(e*)（指数酉Möbius函数）以及 φ^(e*)（指数酉Euler函数）。
• 证明 τ^(e*) 和 σ^(e*) 是乘法函数，并推导出显式公式：τ^(e*)(n) = ∏ᵢ 2^{ω(aᵢ)} 和 σ^(e*)(n) = ∏ᵢ ∑_{d|*aᵢ} pᵢ^d。
• 利用关于乘法函数的一般结果，建立 φ^(e*) 的上极限渐近行为（log F(n) log log n / log n → sup (log f(m))/m）。
• 应用有界于1的乘法函数的一般渐近公式，推导出 ∑_{n≤x} τ^(e*)(n)/τ^(e)(n) = x ∏_p (1 + ∑_{a≥4} (2^{ω(a)}/τ(a) - 2^{ω(a-1)}/τ(a-1))/p^a) + O(x^{1/4} log x)。
• 使用Dirichlet卷积及4-完全整数的性质，估计部分和并控制渐近展开中的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在非平方自由的指数酉完全数，因而也非指数完全数？
• RQ2 是否存在不被3整除的指数酉完全数？
• RQ3 指数酉完全数的数量是有限还是无限？

主要发现

• 通过反证法，利用指数酉除数个数的偶性及除数和比值的界，证明了不存在奇数的指数酉完全数。
• τ^(e*)、σ^(e*)、μ^(e*) 和 φ^(e*) 的渐近行为与它们的指数除数对应物 τ^(e)、σ^(e)、μ^(e) 和 φ^(e) 非常相似。
• 建立了渐近公式：∑_{n≤x} τ^(e*)(n)/τ^(e)(n) = x ∏_p (1 + ∑_{a≥4} (2^{ω(a)}/τ(a) - 2^{ω(a-1)}/τ(a-1))/p^a) + O(x^{1/4} log x)。
• 商 |μ^(e)(n)| / |μ^(e*)(n)| = |μ^(e)(n)| 是 e-平方自由整数的特征函数，其渐近密度已被研究。
• 最小的指数完全但非指数酉完全的数是 17,424 = 2⁴·3²·11²。
• 存在无穷多个指数酉完全数，包括所有 36n（其中 n 为与6互素的平方自由数）。