[论文解读] Exponentially $S$-numbers

Vladimir Shevelev|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文建立了指数型 $S$-数的计数函数的一般渐近公式——即正整数中所有素因子指数均属于给定序列 $S \in \mathbf{S}$ 的数——当 $s(1) = 1$ 时，证明其具有自然密度 $h(E(S))$。主要结果给出了显式的密度公式及一个对所有此类序列一致成立的误差项 $O\left(\sqrt{x}\log x \cdot e^{c\frac{\sqrt{\log x}}{\log\log x}}\right)$，其中 $c \approx 7.443$。该工作推广了关于无平方数和高次幂数的先前结果，并扩展至更广泛的指数型 $S$-数系统类别。

ABSTRACT

Let $\mathbf{S}$ be the set of all finite or infinite increasing sequences of positive integers. For a sequence $S=\{s(n)\}, n\geq1,$ from $\mathbf{S},$ let us call a positive number $N$ an exponentially $S$-number $(N\in E(S)),$ if all exponents in its prime power factorization are in $S.$ Let us accept that $1\in E(S).$ We prove that, for every sequence $S\in \mathbf{S}$ with $s(1)=1,$ the exponentially $S$-numbers have a density $h=h(E(S))$ such that $$\sum_{i\leq x,\enskip i\in E(S)} 1 = h(E(S))x+R(x), where R(x) does not depend on $S$ and $h(E(S))=\prod_{p}(1+\sum_{i\geq2}\frac{u(i)-u(i-1)}{p^i}),$ where $u(n)$ is the characteristic function of $S.$

研究动机与目标

• 建立指数型 $S$-数的自然密度 $h(E(S))$ 的存在性并实现显式计算，其中指数型 $S$-数定义为所有素因子指数均属于给定序列 $S \in \mathbf{S}$ 的正整数。
• 推导计数函数的统一误差项，该误差项不依赖于 $S$ 的具体选择，前提是 $s(1) = 1$。
• 将关于无平方数（$S = \{1\}$）和指数型无平方数（$S = B$）的先前结果推广至任意以 1 开始的序列 $S$。
• 研究密度函数 $h(E(S))$ 的结构及其对序列 $S$ 的特征函数 $u(n)$ 的依赖关系，导出欧拉乘积公式。
• 将框架推广至更一般情形：每个素数被赋予其自身的指数序列 $S_n$，从而定义一类新的指数型 $\mathbf{A}$-数。

提出的方法

• 将指数型 $S$-数定义为所有素因子指数均属于固定序列 $S \in \mathbf{S}$ 的整数，依惯例令 $1 \in E(S)$。
• 将 $E(S)$ 分解为以强大数 $a \in E(S) \cap E(\Upsilon)$ 为指标的不相交类 $E(S)^{(a)}$，其中 $\Upsilon = \{2,3,4,\dots\}$。
• 应用引理 1 于与 $r$ 互素的无平方数的计数函数 $b_r(x)$，其余项满足 $O\left(\sqrt{x} \cdot e^{c\frac{\sqrt{\log r}}{\log\log r}}\right)$，当 $r$ 较大时成立。
• 将总数 $\sum_{i \leq x, i \in E(S)} 1$ 表示为对所有 $a \in E(S) \cap E(\Upsilon)$ 的 $b_{r(a)}(x/a)$ 之和，从而导出涉及无平方数密度的渐近展开式。
• 利用积性数论和欧拉乘积的性质，推导出密度公式 $h(E(S)) = \prod_p \left(1 + \sum_{i \geq 2} \frac{u(i) - u(i-1)}{p^i}\right)$。
• 将结果推广至序列 $\mathbf{A} = \{S_n\}$ 的情形，其中每个素数 $p_n$ 拥有其自身的指数序列 $S_n$，得到新的密度公式 $\prod_n \left(1 + \sum_{i \geq 2} \frac{u_n(i) - u_n(i-1)}{p_n^i}\right)$，并保持相同的误差项结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $S$ 是任意一个正整数的递增序列且满足 $s(1) = 1$ 时，指数型 $S$-数集合的自然密度是多少？
• RQ2 是否可以为所有此类序列 $S$ 的指数型 $S$-数计数函数建立一个统一的误差项？
• RQ3 密度 $h(E(S))$ 如何依赖于序列 $S$ 的特征函数 $u(n)$？
• RQ4 所有可能的密度集合 $\{h(E(S))\}$ 是否在区间 $[6/\pi^2, 1]$ 中稠密？
• RQ5 当每个素数拥有其自身的指数序列 $S_n$ 时，指数型 $\mathbf{A}$-数的计数函数的渐近行为如何？

主要发现

• 对于每个满足 $s(1) = 1$ 的序列 $S \in \mathbf{S}$，指数型 $S$-数集合具有正的自然密度 $h(E(S))$；若 $s(1) > 1$，则 $h(E(S)) = 0$。
• 密度由欧拉乘积显式给出：$h(E(S)) = \prod_p \left(1 + \sum_{i \geq 2} \frac{u(i) - u(i-1)}{p^i}\right)$，其中 $u(n)$ 是序列 $S$ 的特征函数。
• 计数函数满足 $\sum_{i \leq x, i \in E(S)} 1 = h(E(S))x + O\left(\sqrt{x} \log x \cdot e^{c \frac{\sqrt{\log x}}{\log \log x}}\right)$，其中 $c = 4\sqrt{2.4 / \log 2} \approx 7.443$。
• 该误差项对所有满足 $s(1) = 1$ 的序列 $S$ 均一致成立，且无需依赖黎曼猜想，与先前特定情形的结果不同。
• $\{h(E(S))\}$ 的集合在 $[6/\pi^2, 1]$ 中不稠密；存在正的间隙介于 $\prod_p (1 - \frac{p-1}{p^3})$ 与 $\prod_p (1 - \frac{1}{p^3})$ 之间，表明该区间内并非所有密度都可实现。
• 将结果推广至指数型 $\mathbf{A}$-数（每个素数 $p_n$ 被赋予序列 $S_n$）的情形，得到密度公式 $h(E(\mathbf{A})) = \prod_{n \geq 1} \left(1 + \sum_{i \geq 2} \frac{u_n(i) - u_n(i-1)}{p_n^i}\right)$，其误差项结构与原结果相同。