[论文解读] Extended Probabilities: Mathematical Foundations

Mark Burgin|ArXiv.org|Dec 24, 2009

Probability and Statistical Research参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出扩展概率作为数学框架，允许概率函数取正值和负值，为负概率提供了严格的公理化基础。它将经典概率确立为此扩展系统中的正部分，解决了理论物理和量子力学中长期存在的解释与数学问题。

ABSTRACT

There are important problems in physics related to the concept of probability. One of these problems is related to negative probabilities used in physics from 1930s. In spite of many demonstrations of usefulness of negative probabilities, physicists looked at them with suspicion trying to avoid this new concept in their theories. The main question that has bothered physicists is mathematical grounding and interpretation of negative probabilities. In this paper, we introduce extended probability as a probability function, which can take both positive and negative values. Defining extended probabilities in an axiomatic way, we show that classical probability is a positive section of extended probability.

研究动机与目标

• 通过提供数学上严谨的基础，解决物理学界长期以来对负概率的怀疑。
• 解决在量子力学和统计物理中使用负概率所引发的解释与形式问题。
• 构建一个广义的概率框架，使经典概率成为其特例。
• 为扩展概率提供公理化定义，以确保一致性和数学自洽性。
• 在不违反概率论基础原则的前提下，使负概率可在理论模型中被使用。

提出的方法

• 将扩展概率定义为在σ-代数上取值可为正负实数的函数。
• 提出扩展概率的公理体系，推广柯尔莫哥洛夫公理，以允许负值。
• 证明经典概率是扩展概率的正部分，即所有值均为非负。
• 使用测度论基础，在可测空间上形式化扩展概率测度。
• 证明其在线性组合和与概率论一致的运算下具有封闭性。
• 证明即使概率值为负，扩展概率仍保持在互不相交事件上的可加性等关键性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 负概率能否以一种避免不一致或矛盾的方式在数学上得到确立？
• RQ2 如何形式化定义扩展概率，使其包含经典概率作为特例？
• RQ3 何种公理结构可支持在概率中使用负值，同时保持逻辑自洽？
• RQ4 扩展概率以何种方式推广经典概率，同时不损失解释的清晰性？
• RQ5 扩展概率如何应用于在物理学理论中曾非正式使用负概率的领域？

主要发现

• 通过推广柯尔莫哥洛夫公理的公理体系，正式定义了扩展概率，允许取负值。
• 证明经典概率是扩展概率框架中的正部分，即经典概率是扩展概率的一个子集。
• 即使概率为负，该框架仍保持在互不相交事件上的可加性。
• 通过测度论构造，确立了负概率的数学一致性。
• 该模型为在量子力学及其他物理理论中使用负概率提供了严格的理论基础。
• 扩展概率构成实数上的向量空间，支持代数运算和线性组合。