[论文解读] Extending Mirror Conjecture to Calabi-Yau with Bundles

Cumrun Vafa|ArXiv.org|Apr 20, 1998

Geometry and complex manifolds被引用 51

一句话总结

该论文通过将镜像对称扩展至配备稳定向量丛的卡拉比-丘流形，将镜像定义为镜像流形中的一个镜像对称拉格朗日子流形，将丛上同调的霍奇结构变化与边界位于镜像上的全纯映射联系起来。关键成果是建立了一个广义镜像映射，将B模型中的开弦振幅与A模型中的盘瞬子联系起来，明确展示了陈类与循环同调类之间的对应关系。

ABSTRACT

We define the notion of mirror of a Calabi-Yau manifold with a stable bundle in the context of type II strings in terms of supersymmetric cycles on the mirror. This allows us to relate the variation of Hodge structure for cohomologies arising from the bundle to the counting of holomorphic maps of Riemann surfaces with boundary on the mirror side. Moreover it opens up the possibility of studying bundles on Calabi-Yau manifolds in terms of supersymmetric cycles on the mirror.

研究动机与目标

• 将镜像对称推广至卡拉比-丘流形上的向量丛。
• 在卡拉比-丘三流形上建立稳定丛与镜像中镜像对称拉格朗日子流形之间的对应关系。
• 通过霍奇理论，将稳定丛的模空间与镜像对称子流形的模空间联系起来。
• 推导一个广义镜像映射，连接B模型中的开弦振幅与A模型中的盘瞬子。
• 为通过镜像-对称子流形研究丛提供物理与数学框架。

提出的方法

• 将带有稳定U(N)丛的卡拉比-丘流形的镜像定义为镜像流形M中的一个镜像对称n维子流形C，其中n为卡拉比-丘的复维数。
• 通过从H^{k,k}(M)到H_n(W)的映射，将C的同调类与丛的陈类（包括c_0至c_n）对应起来。
• 通过T^n纤维上的T对偶性，论证D膜缠绕丛与镜像中拉格朗日子流形之间的对偶性。
• 构建镜像子流形C上的陈-西蒙斯作用量与丛上B模型作用量之间的对应关系，其中瞬子修正项来自边界位于C上的全纯映射。
• 推导一个广义镜像公式，将丛侧(0,1)-形式的三重交截与边界映射到C上的全纯盘映射的生成函数相等，其中包含面积与威尔逊线的指数加权。
• 引入多圈瞬子修正与威尔逊线插入项，以考虑模参数依赖性与枚举不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将镜像对称扩展至包含卡拉比-丘流形上的向量丛？
• RQ2 在卡拉比-丘三流形上，稳定向量丛的镜像对偶在D膜与镜像对称子流形的术语中是什么？
• RQ3 丛的陈类如何与镜像流形中其镜像子流形的同调类相关联？
• RQ4 B模型中开弦振幅与A模型中边界位于镜像子流形上的盘瞬子之间，其物理与数学对应关系为何？
• RQ5 丛上同调的霍奇结构变化如何映射为边界映射到全纯映射的枚举不变量？

主要发现

• 在卡拉比-丘三流形上，稳定U(N)丛的镜像为镜像流形M中的一个镜像对称拉格朗日子流形C，其同调类由丛的陈类决定。
• 固定陈类的稳定丛模空间与镜像子流形C的复模空间同构，二者维数均为H^1(C)。
• 广义镜像映射将丛侧(0,1)-形式的三重交截与边界映射到C上的全纯盘映射的生成函数相等，后者由面积与威尔逊线的指数加权。
• 广义镜像公式的左侧涉及全纯联络A与全纯3-形式Ω的导数，代表开弦B模型中霍奇结构的变化。
• 右侧包含来自边界位于C上的全纯映射的瞬子修正项，其由H_1(C)与H_2(M)中的同调类标记，且标记点映射到C中对偶于2-循环的庞加莱对偶类。
• 即使对于非平凡循环，该对应关系依然成立：经典极限（无瞬子）恢复C上的三重交截数，高阶项则对应多圈盘与量子修正。