[论文解读] Geometric quantization and mirror symmetry

Andrei Tyurin|ArXiv.org|Feb 4, 1999

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 32

一句话总结

本文建立了一套几何量子化框架，通过镜像对称构造将卡拉比–丘流形中的特殊拉格朗日子流形（spLag）循环与稳定向量丛联系起来。引入相位映射和广义傅里叶–托雷（GFT）变换，表明从稳定丛到spLag循环的GFT映射次数为一，并通过上同调与形变理论证据，支持卡拉比–丘三流形情形下的SYZ镜像对称猜想。

ABSTRACT

After the appearance of my preprint [T3] (Special Lagrangian geometry and slightly deformed algebraic geometry (spLag and sdAG), Warwick preprint 22/1998, alg-geom/9806006, 54 pp.). I received an e-mail from Cumrun Vafa, who recognized that the subject is closely related to that of his preprint [V] (Extending mirror conjecture to Calabi-Yau with bundles, hep-th/9804131, 7 pp.). This text started out as an e-mail ``reply'' to his letter. All the constructions we propose have well known ``spectral curve'' prototypes (see for example Friedman and other [FMW], Bershadsky and other [BJPS] and a number of others). Roughly speaking, our constructions are the spectral curve construction plus the phase geometry described in [T3]. So this text should really come before [T3], as motivation for the development of the geometry of the phase map in [T3].

研究动机与目标

• 开发一种利用相位映射和拉格朗日子流形的镜像对称几何量子化框架。
• 通过广义傅里叶–托雷（GFT）变换，建立卡拉比–丘流形上稳定向量丛与镜像中特殊拉格朗日子流形循环之间的对应关系。
• 通过将向量丛与spLag循环的形变理论相关联，为SYZ镜像对称猜想提供证据。

提出的方法

• 将相位映射 $ m_I $ 定义为拉格朗日子流形 $ \mathcal{L} $ 上的多值函数，其对数导数为一个良定义的1-形式。
• 将拉格朗日子流形 $ \mathcal{L} \subset S $ 的高斯提升 $ G(i) $ 构造为定向拉格朗日 Grassmannian $ \Lambda_{\uparrow}(S) $ 上的结构，再与行列式映射复合至 $ S^1(L_{-K}) $。
• 为满足 $ c_1(E) = \lambda \cdot [\omega] $ 的稳定向量丛 $ E $ 引入广义傅里叶–托雷（GFT）变换 $ \operatorname{GFT}(E) \subset X' $，将其映射为次数为 $ \operatorname{rank} E $ 的spLag多值截面。
• 利用 $ E $ 上的 Hermitian–Einstein 联络定义 $ \mathcal{L} $ 上的平坦联络，诱导出一个特征标 $ \chi^\kappa $，并将相位映射提升至万有覆盖，得到取值于 $ \operatorname{U}(1) $ 的函数 $ m_I $。
• 在 $ \operatorname{GFT}(E) $ 上定义超循环结构 $ (\Sigma, \chi) $，并构造从稳定丛模空间到超循环空间的遗忘映射 $ f $ 与 sGFT 映射 $ \operatorname{sGFT} $。
• 应用形变理论，证明 $ \dim_{\mathbb{C}} \mathcal{M}_m^s \leq b_1(\operatorname{GFT}(E)) $，并利用稳定性与非平凡同态论证，证明 $ \operatorname{sGFT} $ 为次数为一的映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用几何量子化构造卡拉比–丘流形中稳定向量丛与特殊拉格朗日子流形循环之间的镜像对应？
• RQ2 相位映射在表征Bohr–Sommerfeld与特殊拉格朗日子流形循环中起什么作用？
• RQ3 广义傅里叶–托雷（GFT）变换如何将稳定丛的模空间与镜像流形中spLag循环的空间联系起来？
• RQ4 在何种条件下，GFT映射在形变空间层面成为同构？
• RQ5 等式 $ \operatorname{rank} H^1(X, \operatorname{ad} E) = \operatorname{rank} H^1(\operatorname{GFT}(E), \mathbb{C}) $ 在多大程度上成立，以及它如何支持SYZ猜想？

主要发现

• GFT 映射 $ \operatorname{GFT} $ 将稳定向量丛 $ E $ 映射为镜像流形中次数为 $ \operatorname{rank} E $ 的spLag多值截面 $ \operatorname{GFT}(E) \subset X' $，其上同调类由镜像映射 $ \operatorname{mir} $ 决定。
• 从稳定丛模空间 $ \mathcal{M}_m^s $ 到超循环空间的映射 $ \operatorname{sGFT} $ 为次数为一的映射，意味着 $ \operatorname{sGFT}(E_1) = \operatorname{sGFT}(E_2) $ 蕴含 $ E_1 = E_2 $。
• 丛 $ E $ 的形变空间满足 $ \dim_{\mathbb{C}} \mathcal{M}_m^s \leq b_1(\operatorname{GFT}(E)) $，在正则情形或当两种形变理论均无阻碍时等式成立。
• 对于切丛 $ T_X $，等式 $ H^1(X, \operatorname{ad} T_X) = H^1(\operatorname{GFT}(T_X), \mathbb{C}) $ 成立，为SYZ镜像猜想的核心提供了强有力证据。
• 映射 $ \operatorname{sGFT} $ 的微分诱导出一个包含映射 $ d\operatorname{sGFT}: H^1(X, \operatorname{ad} E) \to H^1(\operatorname{GFT}(E), \mathbb{C}) $，并与 Kuranishi 映射相容。