[论文解读] Extending surjective isometries defined on the unit sphere of $\ell_\infty(\Gamma)$

Antonio M. Peralta|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文证明了由无限离散集 Γ 上所有复值有界函数构成的 Banach 空间 ℓ∞(Γ) 满足 Mazur-Ulam 性质：任意从 ℓ∞(Γ) 的单位球面到任意复 Banach 空间 X 的单位球面的满射等距同构，均可唯一地延拓为从 ℓ∞(Γ) 到 X 的满射实线性等距同构。证明依赖于部分等距的几何性质，以及利用 ℓ∞(Γ) 上的齐次乘积结构实现的新颖实线性延拓方法。

ABSTRACT

Let $\Gamma$ be an infinite set equipped with the discrete topology. We prove that the space $\ell_{\infty}(\Gamma),$ of all complex-valued bounded functions on $\Gamma$, satisfies the Mazur-Ulam property, that is, every surjective isometry from the unit sphere of $\ell_{\infty}(\Gamma)$ onto the unit sphere of an arbitrary complex Banach space $X$ admits a unique extension to a surjective real linear isometry from $\ell_{\infty}(\Gamma)$ to $X$.

研究动机与目标

• 确立 ℓ∞(Γ) 满足 Mazur-Ulam 性质，从而推广先前关于 c0(Γ) 的猜想。
• 通过证明从 ℓ∞(Γ) 的单位球面到整个空间的等距同构可延拓，解决复 Banach 空间中的 Tingley 问题。
• 发展基于部分等距和 M-正交性的新几何方法，以克服以往用于 c0(Γ) 的方法的局限性。
• 证明 ℓ∞(Γ) 上单位球面上的满射等距同构的齐次延拓是加法的且为实线性，从而导出唯一的实线性延拓。
• 确认 ℓ∞(Γ) 是首个已知的满足 Mazur-Ulam 性质的复 Banach 空间，超越实序列空间的范畴。

提出的方法

• 在 ℓ∞(Γ) 上引入一个实线性乘积 ⊙，使得对任意非零部分等距 v 和满足 |λ| = 1 的 λ ∈𝕋，有 λ∆(v) = ∆(λ ⊙v)。
• 证明一个满射等距同构 ∆ 将 ℓ∞(Γ) 中有限个相互正交的非零部分等距族映射为 X 中完全 M-正交的集合。
• 通过部分等距个数的归纳法，证明齐次延拓 F 满足 F(∑ αj ⊙vj) = ∑ αj∆(vj)，其中 αj 为复系数。
• 利用代数元（部分等距的有限线性组合）在 ℓ∞(Γ) 中的范数稠密性，将加法性延拓至所有元素。
• 证明齐次延拓 F 是 Lipschitz 连续的，并利用有限组合逼近，证明对所有 a, b ∈ℓ∞(Γ)，有 F(a + b) = F(a) + F(b)。
• 最终得出 F 是一个延拓了 ∆ 的实线性等距同构，且唯一性由单位球面上的等距性质决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 空间 ℓ∞(Γ) 是否满足 Mazur-Ulam 性质，即其单位球面与另一复 Banach 空间单位球面之间的任意满射等距同构是否可唯一延拓为实线性等距同构？
• RQ2 ℓ∞(Γ) 中部分等距的几何结构能否用于刻画单位球面上等距同构的行为？
• RQ3 是否可在 ℓ∞(Γ) 上定义一个实线性乘积 ⊙，使得等距同构 ∆ 沿此乘积与模为 1 的复数乘法相容？
• RQ4 X 中正交部分等距的像的完全 M-正交性与齐次延拓的加法性之间有何关系？
• RQ5 是否可通过部分等距的有限和逼近与 Lipschitz 连续性，建立齐次延拓的加法性？

主要发现

• 空间 ℓ∞(Γ) 满足 Mazur-Ulam 性质：对任意复 Banach 空间 X，从 S(ℓ∞(Γ)) 到 S(X) 的任意满射等距同构均可唯一延拓为从 ℓ∞(Γ) 到 X 的满射实线性等距同构。
• 一个满射等距同构 ∆: S(ℓ∞(Γ)) → S(X) 的齐次延拓 F 在 ℓ∞(Γ) 上是加法的，即对所有 a, b ∈ℓ∞(Γ)，有 F(a + b) = F(a) + F(b)。
• 对 ℓ∞(Γ) 中任意有限个相互正交的非零部分等距 {v₁, ..., vₖ}，其在 ∆ 下的像构成 X 中的完全 M-正交集合。
• 该延拓 F 满足 F(∑ αj ⊙vj) = ∑ αj∆(vj)，其中 αj 为复系数，且 ⊙ 是 ℓ∞(Γ) 上与模为 1 的复数相容的实线性乘积。
• 通过代数元（部分等距的有限和）的逼近，建立了延拓的实线性结构，而这些代数元在 ℓ∞(Γ) 中是范数稠密的。
• 该延拓是唯一且等距的，证明依赖于新颖的几何论证，涉及部分等距和 M-正交性，与先前用于 c0(Γ) 的方法有本质区别。