[论文解读] Extension and trace theorems for noncompact doubling spaces

Clark Butler|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文通过引入基于Busemann函数的新型统一化过程，将Besov空间的扩展与迹定理从紧致情形推广到完备非紧致的加倍度量测度空间，并构建了统一化的双曲填充。关键贡献在于在一般加倍与反加倍条件下，推导出Poincaré型不等式，以及关于Besov函数的新Lebesgue点与准连续性结果。

ABSTRACT

We generalize the extension and trace results of Björn-Björn-Shanmugalingam \cite{BBS21} to the setting of complete noncompact doubling metric measure spaces and their uniformized hyperbolic fillings. This is done through a uniformization procedure introduced by the author that uniformizes a Gromov hyperbolic space using a Busemann function instead of the distance functions considered in the work of Bonk-Heinonen-Koskela \cite{BHK}. We deduce several corollaries for the Besov spaces that arise as trace spaces in this fashion, including the existence of representatives that are quasicontinuous with respect to the Besov capacity, the existence of $L^p$-Lebesgue points quasieverywhere with respect to the Besov capacity, embeddings into Hölder spaces for appropriate exponents, and a stronger Lebesgue point result under an additional reverse doubling hypothesis on the measure. We also obtain several Poincaré-type inequalities relating integrals of Besov functions over balls to integrals of upper gradients of extension of these functions to a uniformized hyperbolic filling of the space.

研究动机与目标

• 将Besov空间在紧致加倍空间上的扩展与迹结果推广至完备非紧致的加倍度量测度空间。
• 提出一种基于Busemann函数而非距离函数的新统一化方法，用于Gromov双曲空间。
• 建立关于统一化双曲填充中边界上的Besov范数与扩展的上梯度范数之间的Poincaré型不等式。
• 证明迹空间中几乎处处准连续代表元及$L^p$-Lebesgue点的存在性。
• 在反加倍假设下，获得到Hölder空间的嵌入以及更强的Lebesgue点结果。

提出的方法

• 将非紧致加倍空间$Z$作为Gromov边界$\partial X$去掉一点$\omega$，构造一个完备的测地Gromov双曲空间$X$，作为$Z$的双曲填充。
• 对$X$应用基于Busemann函数的统一化，得到一个统一度量空间$X_\rho$，其度量边界$\partial X_\rho$与$Z$之间存在双Lipschitz等价，从而可将$Z$视为等距同构于$\partial X_\rho$。
• 将$Z$上的测度$\nu$提升为$X$上的均匀局部加倍测度$\mu$，然后对每个$\beta > 0$进行统一化，得到$X_\rho$上的测度$\mu_\beta$，使得$(X_\rho, d_\rho, \mu_\beta)$及其完备化均为加倍空间，并满足$1$-Poincaré不等式。
• 通过半范数(1.1)与范数(1.2)定义Besov空间$\check{B}^\theta_p(Z)$，并通过扩展的上梯度将其与$X_\rho$上的Newton-Sobolev空间联系起来。
• 利用统一化方法推导出Poincaré型不等式，如(7.15)，将$Z$上函数的$L^{Q_*}$-范数与双曲填充中其上梯度的$L^p$-范数联系起来。
• 通过分析球上平均的衰减行为，结合半径估计(7.7)与体积衰减界(4.17)，建立准连续性与Lebesgue点性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将紧致加倍空间上Besov空间的扩展与迹定理推广至完备非紧致的加倍度量测度空间？
• RQ2 如何利用基于Busemann函数的统一化过程，构造一个双曲填充及统一度量空间，使其边界与原空间双Lipschitz等价？
• RQ3 在统一化双曲填充中，边界上Besov半范数与扩展的上梯度范数之间可建立何种Poincaré型不等式？
• RQ4 在何种条件下，$Z$上的Besov函数在Besov容量意义下存在准连续代表元？
• RQ5 当测度$\nu$满足反加倍条件时，可获得何种更强的Lebesgue点结果？

主要发现

• 在反加倍条件(7.6)与相对下体积衰减阶$Q>0$下，论文证明了$C_{\check{B}^\theta_p}^Z$-准几乎处处的点是函数$f$的迹在$L^{Q_*}(Z)$意义下的Lebesgue点，其中$Q_* = Qp/(Q - p\theta)$。
• 论文建立了每个$\check{B}^\theta_p(Z)$中的函数在Besov容量意义下存在准连续代表元，推广了紧致情形下的结果。
• 通过分析不等式(7.13)中第二项在$r \to 0$时趋于零的收敛性，论文证明了$L^p$-Lebesgue点在Besov容量意义下几乎处处存在。
• 推导出Poincaré型不等式(7.15)：$\left(\mathchoice{{\vbox{\hbox{$\textstyle-$}}\kern-7.83337pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptstyle-$}}\kern-5.90005pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-4.75003pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-4.25003pt}}\!\int_B |f - u_{\hat{B}}|^{Q_*} d\nu\right)^{1/Q_*} \lesssim \mathrm{diam}(B) \left(\mathchoice{{\vbox{\hbox{$\textstyle-$}}\kern-7.83337pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptstyle-$}}\kern-5.90005pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-4.75003pt}}{{\vbox{\hbox{$\scriptscriptstyle-$}}\kern-4.25003pt}}\!\int_{2\hat{B}} g^p d\mu_\beta\right)^{1/p}$，其中隐含常数依赖于几何与测度参数。
• 在反加倍条件与相对下体积衰减下，论文获得了更强的Lebesgue点结果，确认了$C_{\check{B}^\theta_p}^Z$-准几乎处处的点为$L^{Q_*}$-Lebesgue点。
• 作者证明了在范数(1.2)下$\check{B}^\theta_p(Z)$是Banach空间，通过统一化框架提供了该事实的另一种证明。