[论文解读] Extension of Convex Function

Min Yan|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文研究了定义在非凸区域上的凸函数向其凸包乃至更广区域的扩展，聚焦于基于 Hessian 矩阵的（局部）凸性定义，以避免出现无穷大值。文章建立了此类扩展存在的条件，特别表明：在有界凸区域上具有正定 Hessian 矩阵的 $C^2$ 函数可全局扩展且 Hessian 矩阵有界；并证明当区域存在余维数为 1 的洞时，局部凸性并不蕴含全局凸性。

ABSTRACT

We study the local and global versions of the convexity, which is closely related to the problem of extending a convex function on a non-convex domain to a convex function on the convex hull of the domain and beyond the convex hull. We also give the parallel results for the convexity defined by positive definite Hessian.

研究动机与目标

• 澄清在非凸区域上全局凸性、局部凸性与区间凸性之间的区别。
• 解决在不赋予无穷大值的前提下，将具有正定 Hessian 矩阵的 $C^2$ 函数从凸包外区域扩展的问题。
• 确定何时通过正定 Hessian 矩阵定义的局部凸性可推出区域上的全局凸性。
• 提供将有界凸区域上的凸函数扩展至整个空间并保持 Hessian 矩阵有界的充分条件。
• 研究拓扑障碍（如余维数为 1 的子集）在阻止局部凸性蕴含全局凸性中的作用。

提出的方法

• 引入三种凸性类型：凸性、基于 Hessian 矩阵的局部凸性，以及区间凸性，其定义基于凸组合与 Hessian 矩阵的正定性。
• 重新表述 Peters 与 Wakker 的凸扩展结果，以避免无穷大值，从而支持实际的解析应用。
• 利用 $C^2$ 正则性与 Hessian 分析，构造具有受控 Hessian 矩阵有界的扩展，特别证明了利普希茨连续性是实现凸包外全局扩展的必要且充分条件。
• 采用光滑截断函数 $\beta$ 将一个二次函数与一个扰动项拼接，确保在余维数为 1 的子流形邻域内 Hessian 矩阵保持正定。
• 应用仿射变换与局部坐标系以降低几何复杂度，并在关键情形下构造反例。
• 运用涉及横截相交与直线连通分支的拓扑论证，证明当存在余维数为 1 的障碍时，局部凸性不蕴含全局凸性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非凸区域上具有正定 Hessian 矩阵的 $C^2$ 函数，其在全空间上扩展为具有正定 Hessian 矩阵的 $C^2$ 函数的条件是什么？
• RQ2 当区域存在余维数为 1 的孔洞时，基于正定 Hessian 矩阵的局部凸性是否足以推出全局凸性？
• RQ3 能否将定义在紧致凸区域上、Hessian 矩阵在 $A\|v\|^2$ 与 $B\|v\|^2$ 之间的 $C^2$ 函数扩展至整个空间，并保持相同的 Hessian 矩阵有界性？
• RQ4 当区域非凸时，凸性、局部凸性与区间凸性之间存在何种关系？
• RQ5 何种拓扑障碍会阻止一个局部凸函数成为全局凸函数？

主要发现

• 在有界凸区域上具有正定 Hessian 矩阵的 $C^2$ 函数可扩展至整个空间且保持正定 Hessian 矩阵，当且仅当该函数是利普希茨连续的。
• 当区域存在余维数为 1 的障碍时，基于 Hessian 矩阵的凸性（即局部凸性）不蕴含全局凸性，通过构造一个具有正定 Hessian 矩阵但非凸的 $C^2$ 函数予以证明。
• 当区域在去除一个余维数 $\geq 2$ 的子集后为凸集时，三种凸性类型（全局、局部、区间）等价。
• 当区域在去除一个余维数为 1 的子集（如超曲面）后为凸集时，局部凸性不蕴含全局凸性，且显式构造了反例。
• 在特殊情形 $A=0$，$B=+\infty$ 下，Hessian 矩阵有界性可被保持的猜想得到证实，如定理 4.4 所示。
• 构造一个局部凸但非全局凸的函数，依赖于光滑截断函数 $\beta$ 与一个保持正定 Hessian 矩阵但破坏线段上凸性的扰动项。