[论文解读] Extensions for supersingular representations of $GL_2(Q_p)$

Vytautas Paškūnas|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 7

一句话总结

该论文证明了当 $p > 2$ 时，对 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 的一个上奇异表示 $\pi$ 的非平凡扩张，仅当 $\tau \cong \pi$ 时才可能发生，且计算出当 $p \geq 5$ 时 $\dim \operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi) = 5$。该结果证实了 Colmez 的一个猜想，并完成了对 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 的光滑不可约 $\overline{\mathbb{F}}_p$-表示之间扩张的分类。

ABSTRACT

Let $p>2$ be a prime number. Let $G:=GL_2(Q_p)$ and $π$, $τ$ smooth irreducible representations of $G$ on $\bar{F}_p$-vector spaces with a central character. We show if $π$ is supersingular then $Ext^1_G(τ,π) eq 0$ implies $τ\cong π$. This answers affirmatively for $p>2$ a question of Colmez. We also determine $Ext^1_G(τ,π)$, when $π$ is the Steinberg representation. As a consequence of our results combined with those already in the literature one knows $Ext^1_G(τ,π)$ for all irreducible representations of $G$.

研究动机与目标

• 确定 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 的光滑不可约 $\overline{\mathbb{F}}_p$-表示之间所有可能的非平凡扩张，且其中心特征标固定。
• 解决 Colmez 提出的关于上奇异表示 $\operatorname{Ext}^1$ 结构的问题。
• 计算当 $p > 2$ 时，特别是当 $p \geq 5$ 时，上奇异 $\pi$ 的 $\operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi)$ 的维数。
• 将扩张分类扩展至包含 Steinberg 表示和所有不可约表示。

提出的方法

• 使用谱序列 $\operatorname{Ext}^i_{\mathcal{H}}(\mathcal{I}(\tau), \mathbb{R}^j\mathcal{I}(\pi)) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{i+j}_{G,\zeta}(\tau, \pi)$，其中 $\mathcal{H}$ 是与中心特征标 $\zeta$ 相关的 Hecke 代数。
• 通过 Iwahori 子群 $I$ 及其 pro-$p$ 平凡化子 $I_1$ 应用 Iwasawa-Tate 方法，将问题约化为在 $I_1/Z_1$ 上的上同调。
• 利用 Kisin 和 Ollivier 的结果来控制 $\dim H^1(I_1/Z_1, \pi)$ 并控制 $\mathbb{R}^1\mathcal{I}(\pi)$ 的 $\mathcal{H}$-模结构。
• 利用模 $p$ Langlands 对应，将 $\operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi)$ 与 Galois 上同调 $H^1(\mathrm{Ad}^0(\rho))$ 关联起来，其中 $\rho$ 是相应的 Galois 表示。
• 应用局部欧拉示性数公式，计算出 $h^1(\mathrm{Ad}^0(\rho)) = 3$ 且 $h^1(\mathrm{Ad}(\rho)) = 5$，从而得到 $\dim \operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi)$ 的下界。
• 利用 Berger-Breuil 构造诱导出满射 $R^{\pi,\eta}[1/p] \twoheadrightarrow R^{\omega\eta}[1/p]$，表明满足特定 Hodge-Tate 条件的所有结晶点都位于 $\pi$ 的形变空间中。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p > 2$ 时，$\operatorname{Ext}^1_G(\tau, \pi) \neq 0$ 是否蕴含 $\tau \cong \pi$，对上奇异 $\pi$ 成立？
• RQ2 当 $p \geq 5$ 时，$\operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi)$ 的精确维数是多少？
• RQ3 是否可以完全分类 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 的所有光滑不可约 $\overline{\mathbb{F}}_p$-表示之间的扩张群？
• RQ4 $H^1(I_1/Z_1, \pi)$ 的上同调群和 $\mathbb{R}^1\mathcal{I}(\pi)$ 的结构如何约束可能的扩张？

主要发现

• 当 $p > 2$ 时，若 $\pi$ 是上奇异表示且 $\operatorname{Ext}^1_G(\tau, \pi) \neq 0$，则必有 $\tau \cong \pi$，从而证实了 Colmez 的猜想。
• 当 $p \geq 5$ 时，$\dim \operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi) = 5$，而当 $p = 3$ 时维数最多为 6。
• $\operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi)$ 的扩张群适合于正合列 $0 \to \operatorname{Ext}^1_{G,\zeta}(\pi, \pi) \to \operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi) \to \operatorname{Hom}(Z, \overline{\mathbb{F}}_p) \to 0$，表明中心特征标扭变不贡献于非平凡扩张。
• 对于 Steinberg 表示 $\pi$，$\operatorname{Ext}^1_G(\tau, \pi) = 0$ 除非 $\tau \cong \pi$，且当 $p \geq 5$ 时 $\dim \operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi) = 5$。
• $\operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi)$ 的维数下界为 $h^1(\mathrm{Ad}^0(\rho)) = 3$，而实际值在 $p \geq 5$ 时为 5，与 Galois 上同调计算结果一致。
• Berger-Breuil Banach 空间 $B_x$ 的构造及其模 $\varpi_E$ 的约化得到 $\pi$，且结晶点的 Zariski 稠密性保证了 $R^{\pi,\eta}[1/p] \twoheadrightarrow R^{\omega\eta}[1/p]$，从而得出 $\dim \operatorname{Ext}^1_G(\pi, \pi) \geq 3$。