[论文解读] Extracting Wilson loop operators and fractional statistics from a single bulk ground state

Ze-Pei Cian, Mohammad Hafezi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2022

Quantum many-body systems被引用 4

一句话总结

本文提出了一种无偏的数值优化方法，从一个具有能隙的哈密顿量在圆盘上的单个基态波函数中提取威尔逊环算符（WLOs）和任意统计性质，而无需事先了解哈密顿量。通过将WLOs表述为矩阵乘积算符（MPOs），并优化其变分参数，该方法识别出能保持基态子空间不变的算符，从而通过编织和任意子的创建/湮灭操作提取出拓扑序——特别是模S和T矩阵。

ABSTRACT

An essential aspect of topological phases of matter is the existence of Wilson loop operators that keep the ground state subspace invariant. Here we present and implement an \it unbiased m numerical optimization scheme to systematically find the Wilson loop operators given a single ground state wave function of a gapped Hamiltonian on a disk. We then show how these Wilson loop operators can be cut and glued through further optimization to give operators that can create, move, and annihilate anyon excitations. We subsequently use these operators to determine the braiding statistics and topological twists of the anyons, yielding a way to fully extract topological order from a single wave function. We apply our method to the ground state of the perturbed toric code and doubled semion models with a magnetic field that is up to a half of the critical value. From a contemporary perspective, this can be thought of as a machine learning approach to discover emergent 1-form symmetries of a ground state wave function. From an application perspective, our approach can be relevant to find Wilson loop operators in current quantum simulators.

研究动机与目标

• 开发一种系统化、无需哈密顿量的诊断方法，从单个基态波函数中识别拓扑序。
• 识别在未知或受扰动的哈密顿量下仍能保持基态不变的威尔逊环算符（WLOs）。
• 从同一波函数中提取任意统计性质和拓扑不变量，如模S和T矩阵。
• 在精确哈密顿量未知的量子模拟器中实现对拓扑序的表征。
• 建立一个仅基于波函数数据发现涌现1-形式对称性和任意子激发的框架。

提出的方法

• 将威尔逊环算符表述为沿环路路径参数化的张量变分ansatz的矩阵乘积算符（MPOs）。
• 基于MPO在给定基态中的期望值定义代价函数，目标是使有效WLO的期望值趋近于1。
• 通过迭代数值优化（例如基于梯度）MPO张量，以最小化代价函数并识别保持基态子空间不变的WLOs。
• 利用优化后的WLOs作为构建块，通过进一步优化构造出创建、移动和湮灭任意子的算符。
• 通过测量复合任意子算符的期望值并提取模S和T矩阵，计算编织统计性质和拓扑扭结。
• 在磁质子扰动下对受扰的任意子码和双重半子模型进行方法验证，扰动强度达到临界值的一半。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够从单个基态波函数中系统性地提取威尔逊环算符，而无需了解哈密顿量？
• RQ2 如何利用变分优化从基态波函数中识别涌现的1-形式对称性？
• RQ3 是否能够仅通过数值优化，从未知哈密顿量的单个波函数中重构出完整的拓扑序，特别是模S和T矩阵？
• RQ4 矩阵乘积算符（MPO）参数化在发现任意子激发及其统计性质方面起到什么作用？
• RQ5 该方法在真实世界量子模拟器中应用的适用范围如何，尤其是在哈密顿量未知或受扰动的情况下？

主要发现

• 优化过程成功识别出期望值趋近于1的威尔逊环算符，表明其保持了基态子空间不变。
• 对于受扰的任意子码（$ h_x = 0.15 $, $ h_z = 0.05 $），方法在约400次迭代内收敛，WLO期望值稳定在接近1的水平。
• 提取的WLOs可用于构建任意子创建和编织算符，从而实现模S和T矩阵的计算。
• 该方法正确恢复了任意子的分数统计性质，包括任意子编织相位和拓扑扭结。
• 该方法在任意子码和双重半子模型中对磁质子场强度达到临界值一半的扰动下表现出鲁棒性。
• 该框架可扩展用于提取F和R符号，并可能进一步用于对对称性丰富拓扑相的完整G-交叉编织张量范畴的提取。