[论文解读] Extremal dependence: some contributions

Helena Ferreira, Марта Феррейра|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型的上尾相依函数及子向量之间的极值依赖系数，弱化了传统方法中要求所有分量同时达到极端值的严格条件。通过利用二元技术与基于秩的估计量，该方法能够在高维金融数据中实现稳健的尾部相依性评估，其估计量具有渐近正态性、强一致性，并通过全球市场指数的实证分析得到验证，显示欧洲、美国与远东市场之间存在显著的相依关系。

ABSTRACT

Due to globalization and relaxed market regulation, we have assisted to an increasing of extremal dependence in international markets. As a consequence, several measures of tail dependence have been stated in literature in recent years, based on multivariate extreme-value theory. In this paper we present a tail dependence function and an extremal coefficient of dependence between two random vectors that extend existing ones. We shall see that in weakening the usual required dependence allows to assess the amount of dependence in $d$-variate random vectors based on bidimensional techniques. Very simple estimators will be stated and can be applied to the well-known \emph{stable tail dependence function}. Asymptotic normality and strong consistency will be derived too. An application to financial markets will be presented at the end.

研究动机与目标

• 为解决现有多元尾部相依度量要求所有分量同时达到极端值的局限性，该要求过于严格且计算复杂。
• 开发一种新的上尾相依函数，基于子向量最大值达到极端水平来评估子向量之间的相依性。
• 将极值系数的概念扩展至允许在高维设定下更灵活地建模尾部相依性。
• 推导适用于稳定尾部依赖函数及真实世界金融数据的简单、一致且渐近正态的估计量。
• 通过国际金融市场指数的实证应用，展示所提度量的实际相关性。

提出的方法

• 定义新的上尾相依函数 $\Lambda_U^{(I_1|I_2)}(x,y)$ 为：当 $t \to \infty$ 时，子向量 $I_1$ 的最大值超过 $1 - x/t$ 的条件概率，给定子向量 $I_2$ 的最大值超过 $1 - y/t$ 的极限。
• 引入极值依赖系数 $\epsilon_{(I_1,I_2)}$ 作为 $\Lambda_U^{(I_1|I_2)}(1,1)$，将经典极值系数从二元推广至多元子向量相依关系。
• 使用基于秩的经验 Copula 估计量来估计极值系数，确保对边缘分布假设的稳健性。
• 建立理论性质：通过大数定律及经验分布函数的收敛性论证，证明估计量具有强一致性和渐近正态性。
• 将该方法应用于 1993 至 2004 年间 9 个主要股票市场指数的月度最大对数收益率，将市场划分为欧洲、美国和远东地区进行分析。
• 使用散点图与基于秩的估计量，可视化并量化区域市场群体之间的尾部相依性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当多元向量中仅部分分量达到极端值时，如何有意义地衡量尾部相依性？
• RQ2 能否构建一种依赖度量，弱化所有分量必须同时极端的严格要求，同时保持统计可处理性？
• RQ3 所提极值依赖系数估计量的渐近性质是什么？
• RQ4 与现有尾部相依系数相比，新度量在捕捉金融数据中跨市场相依性方面表现如何？
• RQ5 所提方法在多大程度上揭示了主要全球金融市场之间的尾部相依性模式？

主要发现

• 所提极值依赖系数 $\epsilon_{(I_1,I_2)}$ 可通过基于秩的估计量一致估计，且已证明具有强一致性和渐近正态性。
• 对金融数据的实证应用表明，美国与欧洲市场表现出强烈的尾部相依性，$\widehat{\epsilon}_{(\text{Europe}, \text{USA})} = 1.0083$，表明极值相依性很高。
• 远东市场与其他地区的相依性较弱，$\widehat{\epsilon}_{(\text{Europe}, \text{Far East})} = 0.5688$ 与 $\widehat{\epsilon}_{(\text{USA}, \text{Far East})} = 0.3644$，表明尾部相依性较低。
• 系数 $\epsilon_{(\text{Europe}, \text{USA} \cup \text{Far East})} = 1.1259$ 表明美国与远东市场联合对欧洲的影响强于美国单独的影响，反映出复杂的相互依赖关系。
• 该方法成功捕捉了非对称依赖模式，美国对欧洲的影响强于反之，体现在 $\epsilon_{(\text{USA}, \text{Europe} \cup \text{Far East})} = 0.9215$。
• 所提估计量适用于稳定尾部依赖函数，并在有限样本下表现良好，如金融应用所示。