[论文解读] Extremal functions for the Moser--Trudinger inequality of Adimurthi--Druet type in $W^{1,N}(\mathbb R^N)$

Van Hoang Nguyen|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文在 $W^{1,N}(\mathbb{R}^N)$ 中建立了 Adimurthi--Druet 型 Moser--Trudinger 不等式极值函数的存在性与非存在性，证明了当 $N \geq 3$ 或 $N=2$ 时，在特定 $\beta$ 范围内，亚临界情形下可实现；在临界情形下，当 $\alpha$ 较小时也可实现。此外，本文证明了 $MT(N,\beta_N,1) = \infty$，通过爆破分析与 Moser 序列缩放方法，解决了无界域中极值函数行为的开放问题。

ABSTRACT

We study the existence and nonexistence of maximizers for variational problem concerning to the Moser--Trudinger inequality of Adimurthi--Druet type in $W^{1,N}(\mathbb R^N)$ \[ MT(N,β, α) =\sup_{u\in W^{1,N}(\mathbb R^N), \| abla u\|_N^N + \|u\|_N^N\leq 1} \int_{\mathbb R^N} Φ_N(β(1+α\|u\|_N^N)^{\frac1{N-1}} |u|^{\frac N{N-1}}) dx, \] where $Φ_N(t) =e^{t} -\sum_{k=0}^{N-2} \frac{t^k}{k!}$, $0\leq α< 1$ both in the subcritical case $β< β_N$ and critical case $β=β_N$ with $β_N = N ω_{N-1}^{\frac1{N-1}}$ and $ω_{N-1}$ denotes the surface area of the unit sphere in $\mathbb R^N$. We will show that $MT(N,β,α)$ is attained in the subcritical case if $N\geq 3$ or $N=2$ and $β\in (\frac{2(1+2α)}{(1+α)^2 B_2},β_2)$ with $B_2$ is the best constant in a Gagliardo--Nirenberg inequality in $W^{1,2}(\mathbb R^2)$. We also show that $MT(2,β,α)$ is not attained for $β$ small which is different from the context of bounded domains. In the critical case, we prove that $MT(N,β_N,α)$ is attained for $α\geq 0$ small enough. To prove our results, we first establish a lower bound for $MT(N,β,α)$ which excludes the concentrating or vanishing behaviors of their maximizer sequences. This implies the attainability of $MT(N,β,α)$ in the subcritical case. The proof in the critical case is based on the blow-up analysis method. Finally, by using the Moser sequence together the scaling argument, we show that $MT(N,β_N,1) =\infty$. Our results settle the questions left open in \cite{doO2015,doO2016}.

研究动机与目标

• 解决无界域中 Adimurthi--Druet 型 Moser--Trudinger 不等式极值函数存在性与非存在性的开放问题。
• 确定在 $W^{1,N}(\mathbb{R}^N)$ 中，对于亚临界情形 ($\beta < \beta_N$) 与临界情形 ($\beta = \beta_N$)，上确界 $MT(N,\beta,\alpha)$ 可实现的条件。
• 阐明参数 $\alpha \in [0,1)$ 在临界与亚临界情形下的作用，特别是关于极值序列的集中与消失行为。
• 通过精细分析建立极值序列的精确渐近行为与爆破轮廓。
• 证明 $MT(N,\beta_N,1) = \infty$，表明在端点 $\alpha=1$ 处可实现性失效。

提出的方法

• 为 $MT(N,\beta,\alpha)$ 建立下界，以排除极值序列中可能的消失或集中行为，确保在亚临界情形下的预紧性。
• 应用爆破分析研究临界情形 $\beta = \beta_N$ 下最大化序列的集中轮廓，识别爆破点与爆破轮廓。
• 利用 Moser 序列与缩放方法构造测试函数，证明 $MT(N,\beta_N,1)$ 的无界性。
• 通过变换将 $\mathbb{R}^N$ 上的径向函数与 $\mathbb{R}$ 上的函数关联起来：$w(t) = N^{1-1/N}\omega_{N-1}^{1/N}u(e^{-t/N})$，将积分转化为一维加权积分。
• 应用分部积分与 $\Phi_N(t) = e^t - \sum_{k=0}^{N-2} \frac{t^k}{k!}$ 的渐近估计，控制指数泛函的增长。
• 利用 Gagliardo--Nirenberg 不等式确定 $N=2$ 时亚临界情形下的 $\beta$ 临界范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$W^{1,N}(\mathbb{R}^N)$ 中上确界 $MT(N,\beta,\alpha)$ 可实现，且 $\beta < \beta_N$？
• RQ2 当 $\beta$ 足够小时，$MT(2,\beta,\alpha)$ 是否可实现？与有界区域情形有何不同？
• RQ3 在临界情形下，当 $\alpha > 0$ 足够小时，$MT(N,\beta_N,\alpha)$ 是否保持有限且可实现？
• RQ4 当 $\alpha \to 1^-$ 时，$MT(N,\beta_N,\alpha)$ 的行为如何，特别是在 $\alpha=1$ 处？
• RQ5 爆破分析方法是否可用于刻画临界情形下极值函数的集中轮廓？

主要发现

• 在亚临界情形下，当 $N \geq 3$，或当 $N=2$ 且 $\beta \in \left(\frac{2(1+2\alpha)}{(1+\alpha)^2 B_2}, \beta_2\right)$ 时，上确界 $MT(N,\beta,\alpha)$ 可实现，其中 $B_2$ 是 $W^{1,2}(\mathbb{R}^2)$ 中 Gagliardo--Nirenberg 不等式的最佳常数。
• 当 $N=2$ 时，若 $\beta$ 足够小，则 $MT(2,\beta,\alpha)$ 不可实现，这与有界区域情形相反。
• 在临界情形 $\beta = \beta_N$ 下，当 $\alpha \geq 0$ 足够小时，$MT(N,\beta_N,\alpha)$ 可实现。
• 本文通过 Moser 序列与缩放方法证明了 $MT(N,\beta_N,1) = \infty$，表明在 $\alpha=1$ 处泛函无界，从而解决了长期存在的开放问题。
• 爆破分析方法成功识别了集中轮廓，并可用于在临界情形下构造极值函数（当 $\alpha$ 较小时）。
• 本文建立了 $MT(N,\beta,\alpha)$ 的下界，排除了消失与集中行为，确保了在亚临界情形下极值函数的存在性。