[论文解读] Extremal Graph Theory for Degree Sequences

Xiao‐Dong Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2015

Graph theory and applications参考文献 44被引用 5

一句话总结

本文研究具有相同度序列的连通图的极值图论，聚焦于最大化或最小化谱半径、Dirichlet特征值、Wiener指数、Harary指数、子树数量以及色数等关键不变量。研究发现，极值图（如具有Faber-Krahn性质或最小Dirichlet特征值的图）可通过特定的BFS排序和结构构造唯一表征，且提出了将结果推广至单环图和双环图的猜想。

ABSTRACT

This paper surveys some recent results and progress on the extremal prob- lems in a given set consisting of all simple connected graphs with the same graphic degree sequence. In particular, we study and characterize the extremal graphs having the maximum (or minimum) values of graph invariants such as (Laplacian, p-Laplacian, signless Laplacian) spectral radius, the first Dirichlet eigenvalue, the Wiener index, the Harary index, the number of subtrees and the chromatic number etc, in given sets with the same tree, unicyclic, graphic degree sequences. Moreover, some conjectures are included.

研究动机与目标

• 确定在所有具有相同度序列的连通图中，使关键不变量（如谱半径、Wiener指数）极值的图的结构。
• 在固定度序列下，表征特定图类（如树、单环图、双环图）的极值图。
• 将极值结果扩展至第一Dirichlet特征值、Harary指数、子树数量和色数等不变量。
• 提出并研究关于度序列约束下Faber-Krahn性质和Hadwiger型界的新猜想。
• 应用主要化技术与BFS排序，推导极值图的结构表征。

提出的方法

• 利用主要化理论比较度序列，并推断极值图的性质。
• 采用广度优先搜索（BFS）排序来表征极值图，特别是谱半径最大或最小的图。
• 引入SLO*-排序与BFS图，分析使第一Dirichlet特征值极值的图的结构。
• 应用Faber-Krahn不等式，识别在单环图与双环图族中使第一Dirichlet特征值最小的图。
• 利用图子式理论与拓扑子式概念，研究在度序列约束下色数与Hadwiger数的关系。
• 构造极值图如 $U_{ au,B}^*$ 与 $G_{ au,B}^*$，作为具有指定度序列的单环图与双环图的典范形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的图形度序列，哪个连通图能最大化或最小化谱半径？
• RQ2 在所有具有固定度序列的连通图中，使第一Dirichlet特征值最小的图具有何种结构？
• RQ3 当度序列固定时，图的色数能否用其Hadwiger数来界定？
• RQ4 在何种条件下，给定度序列的极值图是唯一的？
• RQ5 在具有相同度序列的图集中，Wiener指数或子树数量等图不变量如何变化？

主要发现

• 对于给定的图形单环度序列，图 $U_{ au,B}^*$ 唯一地最小化第一Dirichlet特征值，且是唯一具有Faber-Krahn性质的图。
• 极值图 $G_{ au,B}^*$ 在所有具有给定度序列 $ au$ 的双环图中最小化第一Dirichlet特征值。
• 若 $ au riangleleft au'$ 在主要化意义下成立，且两者最小度均至少为3，则 $ u^D(G_{ au,B}^*) > u^D(G_{ au',B}^*)$，表明在度序列主导关系下特征值具有单调性。
• 图 $U_{n,k}^*$ 是唯一具有 $k$ 个悬挂点的单环图，且在该度序列类中最小化第一Dirichlet特征值。
• Hadwiger数 $h(\tau)$ 与拓扑Hadwiger数 $h'(\tau)$ 满足 $\chi(\tau) \leq h'(\tau) \leq h(\tau)$，证实了在度序列下Hadwiger猜想的强化版本。
• 谱半径与非负拉普拉斯谱半径的极值图是BFS图，即存在满足度与距离条件的BFS排序。